Estatística Descritiva: Medidas de Posição (Média, Moda, Mediana): resumo para concursos

Do que trata o tópico

Este tópico trata das medidas de posição. Uma medida de posição é um número só que resume onde ficam os dados de uma pesquisa. As medidas de posição deste tópico são a média, a mediana, os quartis, os decis, os percentis e a moda. A banca cobra essas medidas em três formatos: uma lista solta de números, uma tabela com valores e frequências e uma tabela com intervalos, chamados de classes. A banca também cobra o efeito de um reajuste sobre as medidas.

Conteúdo

Média aritmética com dados soltos e com dados agrupados por valor

Este assunto junta dois assuntos do TEC: a média para dados não agrupados e a média para dados agrupados por valor. Os dois usam a mesma ideia.

Cinco amigos têm R$ 2,00, R$ 4,00, R$ 6,00, R$ 8,00 e R$ 10,00. Eles juntam o dinheiro numa caixa. A caixa fica com R$ 30,00. Depois, eles dividem o dinheiro em partes iguais. Cada um recebe $30 \div 5 = 6$ , isto é, R$ 6,00. Esse valor é a média. A média é o valor que cada dado teria se o total fosse dividido em partes iguais.

x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{n}

Nessa fórmula, $x ˉ$ (lê-se "x barra") é a média. O $x_{i}$ é cada valor da lista. O símbolo $\sum$ quer dizer "some todos". O $n$ é a quantidade de valores.

Às vezes a prova não dá a lista solta. Ela dá uma tabela com cada valor e o número de vezes que ele aparece. Esse número se chama frequência ( $f_{i}$ ). Uma frequência 3 quer dizer que o valor aparece 3 vezes. Para somar todos os dados, você multiplica cada valor pela sua frequência. Depois, você divide pelo total de frequências:

x ˉ = \frac{\sum x _{i} \cdot f _{i}}{\sum f _{i}}

O total de frequências, $\sum f_{i}$ , é a quantidade de dados. A tabela auxiliar que você monta tem três colunas:

Valor $x_{i}$	Frequência $f_{i}$	Produto $x_{i} \cdot f_{i}$
...	...	...
Total	$\sum f_{i}$	$\sum x_{i} \cdot f_{i}$

Reconheça o tipo: uma lista de números é um dado solto; uma tabela com valor e frequência é um dado agrupado por valor.
Com dados soltos, some todos os valores e conte quantos são.
Com dados agrupados por valor, monte a tabela auxiliar com as colunas $x_{i}$ , $f_{i}$ e $x_{i} \cdot f_{i}$ e a linha de Total.
Divida a soma dos valores pela quantidade de dados.
Confira: a média fica entre o menor e o maior valor. Leia de novo o que a questão pede.

Calcule a média de 3, 5, 7, 9 e 11.

Passo 1 do roteiro: os números estão numa lista. São dados soltos.
Passo 2 do roteiro: a soma é $3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35$ . São 5 valores.
Passo 4 do roteiro: $35 \div 5 = 7$ .
Passo 5 do roteiro: 7 fica entre 3 e 11.

Resultado: a média é 7.

Uma pesquisa conta os filhos de 20 famílias de um bairro. A tabela mostra o resultado. Calcule o número médio de filhos por família.

Filhos	Famílias
0	4
1	8
2	6
3	2

Passo 1 do roteiro: a tabela traz cada valor e a sua frequência. São dados agrupados por valor.
Passo 3 do roteiro: crie as colunas $x_{i}$ (filhos), $f_{i}$ (famílias) e $x_{i} \cdot f_{i}$ . O produto diz quantos filhos há no grupo inteiro. Por exemplo, 8 famílias com 1 filho somam 8 filhos.

$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$
0	4	0
1	8	8
2	6	12
3	2	6
Total	20	26

Passo 4 do roteiro: $26 \div 20 = 1, 3$ .
Passo 5 do roteiro: 1,3 fica entre 0 e 3.

Resultado: a média é de 1,3 filho por família.

Um tribunal conta os processos que cada servidor de um cartório julgou no mês. A tabela mostra o resultado.

Processos	Servidores
10	3
12	5
15	8
20	4

Julgue a afirmação: o número médio de processos por servidor é 14,25.

Passo 1 do roteiro: a tabela traz valor e frequência. São dados agrupados por valor.
Passo 3 do roteiro: crie as colunas $x_{i}$ , $f_{i}$ e $x_{i} \cdot f_{i}$ .

$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$
10	3	30
12	5	60
15	8	120
20	4	80
Total	20	290

Passo 4 do roteiro: $290 \div 20 = 14, 5$ .
Passo 5 do roteiro: o valor 14,25 sai de $(10 + 12 + 15 + 20) \div 4 = 57 \div 4 = 14, 25$ . Essa conta ignora as frequências. Ela trata o valor 15, que aparece 8 vezes, como se aparecesse uma vez só.

Resultado: errado. A média é 14,5, e não 14,25.

Um setor tem 9 servidores. A média de idade deles é de 40 anos. Um servidor de 51 anos chega ao setor. Qual é a nova média de idade do setor?

A) 40,00 anos
B) 41,10 anos
C) 45,50 anos
D) 45,67 anos
E) 51,00 anos

Passo 1 do roteiro: as idades são dados soltos. A questão dá a média, e não a lista.
Passo 2 do roteiro: a média vezes a quantidade dá a soma. A soma das 9 idades é $40 \cdot 9 = 360$ . Com o novo servidor, a soma é $360 + 51 = 411$ . Agora são 10 servidores.
Passo 4 do roteiro: $411 \div 10 = 41, 1$ .
Passo 5 do roteiro: 41,1 fica um pouco acima de 40, porque só um dado novo entrou.

Resultado: alternativa B. A alternativa C é a armadilha: ela tira a média entre 40 e 51, como se o setor tivesse só 2 pessoas. A alternativa D divide 411 por 9 e esquece o servidor novo.

O erro comum neste assunto é tirar a média dos valores da tabela sem usar as frequências. Outro erro é dividir pela quantidade de linhas da tabela, e não pelo total de frequências. Para evitar os dois erros, monte sempre a coluna $x_{i} \cdot f_{i}$ e a linha de Total.

Média ponderada

Numa escola, a prova vale mais que o trabalho. A prova tem peso 2, e o trabalho tem peso 1. Um aluno tira 8 na prova e 5 no trabalho. O peso 2 quer dizer que a nota da prova conta duas vezes. Então, a conta é $8 + 8 + 5 = 21$ , dividido por 3 notas: $21 \div 3 = 7$ . A média ponderada é a média em que cada valor conta um número de vezes igual ao seu peso.

x ˉ_{p} = \frac{\sum x _{i} \cdot p _{i}}{\sum p _{i}}

Nessa fórmula, $x ˉ_{p}$ é a média ponderada. O $x_{i}$ é cada valor. O $p_{i}$ é o peso de cada valor. A fórmula é a mesma da média com dados agrupados por valor: lá, a frequência faz o papel do peso.

O peso pode ser o crédito de uma disciplina, o número de pessoas de um grupo ou um percentual de participação. A tabela auxiliar tem três colunas:

Valor $x_{i}$	Peso $p_{i}$	Produto $x_{i} \cdot p_{i}$
...	...	...
Total	$\sum p_{i}$	$\sum x_{i} \cdot p_{i}$

Reconheça o tipo: o enunciado fala em peso, crédito, quantidade de pessoas por grupo ou percentual de participação.
Ache cada valor e o peso dele.
Monte a tabela auxiliar com as colunas $x_{i}$ , $p_{i}$ e $x_{i} \cdot p_{i}$ e a linha de Total.
Divida a soma dos produtos pela soma dos pesos.
Confira: a média fica mais perto do valor de maior peso.

Calcule a média ponderada dos valores 6 e 9, com pesos 1 e 2.

Passo 2 do roteiro: o valor 6 tem peso 1. O valor 9 tem peso 2.
Passo 3 do roteiro: os produtos são $6 \cdot 1 = 6$ e $9 \cdot 2 = 18$ . A soma é $6 + 18 = 24$ . A soma dos pesos é $1 + 2 = 3$ .
Passo 4 do roteiro: $24 \div 3 = 8$ .
Passo 5 do roteiro: 8 fica mais perto de 9, que tem o peso maior.

Resultado: a média ponderada é 8.

Um candidato faz três provas. A tabela mostra as notas e os pesos. Calcule a nota final dele.

Prova	Nota	Peso
Português	7	2
Matemática	5	3
Direito	8	5

Passo 1 do roteiro: cada prova tem um peso. É média ponderada.
Passo 3 do roteiro: crie as colunas nota, peso e nota vezes peso.

Prova	$x_{i}$	$p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
Português	7	2	14
Matemática	5	3	15
Direito	8	5	40
Total		10	69

Passo 4 do roteiro: $69 \div 10 = 6, 9$ .

Resultado: a nota final é 6,9.

Um órgão público tem três setores. A tabela mostra o número de servidores e o salário médio de cada setor.

Setor	Servidores	Salário médio
A	10	R$ 4.000,00
B	30	R$ 6.000,00
C	10	R$ 10.000,00

Julgue a afirmação: o salário médio do órgão é de R$ 6.666,67.

Passo 1 do roteiro: os setores têm tamanhos diferentes. O número de servidores é o peso.
Passo 3 do roteiro: crie a coluna salário vezes servidores. Ela dá a folha de cada setor.

Setor	$x_{i}$	$p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
A	4.000	10	40.000
B	6.000	30	180.000
C	10.000	10	100.000
Total		50	320.000

Passo 4 do roteiro: $320.000 \div 50 = 6.400$ .
Passo 5 do roteiro: o valor da afirmação sai de $(4.000 + 6.000 + 10.000) \div 3 = 6.666, 67$ . Essa conta trata os setores como se tivessem o mesmo tamanho.

Resultado: errado. O salário médio é de R$ 6.400,00.

Uma empresa compra combustível de três fornecedores. A tabela mostra o preço do litro e a parte de cada fornecedor no total de litros comprados. Qual é o preço médio do litro?

Fornecedor	Preço do litro	Parte dos litros
X	R$ 6,00	20%
Y	R$ 5,00	50%
Z	R$ 4,00	30%

A) R$ 1,63
B) R$ 4,90
C) R$ 5,00
D) R$ 5,10
E) R$ 6,00

Passo 1 do roteiro: o percentual de participação é o peso.
Passo 3 do roteiro: crie a coluna preço vezes peso. Escreva o peso como decimal: 20% vira 0,20.

Fornecedor	$x_{i}$	$p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
X	6,00	0,20	1,20
Y	5,00	0,50	2,50
Z	4,00	0,30	1,20
Total		1,00	4,90

Passo 4 do roteiro: $4, 90 \div 1, 00 = 4, 90$ .

Resultado: alternativa B. A alternativa C é a armadilha: ela tira a média simples dos três preços e ignora os pesos. A alternativa D troca os pesos de X e Z, e a alternativa A divide 4,90 por 3 sem motivo.

O erro comum neste assunto é tirar a média das médias sem pesar o tamanho de cada grupo. Outro erro é dividir pelo número de itens, e não pela soma dos pesos.

Média para dados em classes

Às vezes a pesquisa junta os dados em faixas. Uma faixa como "de 2 a 4 mil reais" é uma classe. A banca escreve a classe assim: $2 ⊢ 4$ . Esse sinal quer dizer de 2 até 4, com o 2 dentro da classe e o 4 fora dela. O 2 é o limite inferior, e o 4 é o limite superior. A diferença $4 - 2 = 2$ é a amplitude da classe.

Dentro da classe, você não sabe o valor exato de cada dado. Por isso, você usa o ponto médio, que é o meio da classe.

P M_{i} = \frac{l _{i} + L _{i}}{2}

Nessa fórmula, $P M_{i}$ é o ponto médio, $l_{i}$ é o limite inferior e $L_{i}$ é o limite superior. Na classe $2 ⊢ 4$ , o ponto médio é $(2 + 4) \div 2 = 3$ . Depois, a conta é igual à dos dados por valor, com o ponto médio no lugar do valor:

x ˉ = \frac{\sum P M _{i} \cdot f _{i}}{\sum f _{i}}

A tabela auxiliar tem quatro colunas:

Classe	$f_{i}$	$P M_{i}$	$P M_{i} \cdot f_{i}$
...	...	...	...
Total	$\sum f_{i}$		$\sum P M_{i} \cdot f_{i}$

Reconheça o tipo: a tabela traz intervalos (classes) e frequências.
Calcule o ponto médio de cada classe: some os limites e divida por 2.
Monte a tabela auxiliar com as colunas classe, $f_{i}$ , $P M_{i}$ e $P M_{i} \cdot f_{i}$ e a linha de Total.
Divida a soma de $P M_{i} \cdot f_{i}$ pela soma das frequências.
Confira: a média fica dentro da faixa total. Se as frequências são percentuais, a soma delas é 100.

Calcule a média dos dados da tabela.

Classe	$f_{i}$
$0 ⊢ 10$	2
$10 ⊢ 20$	3

Passo 2 do roteiro: os pontos médios são $(0 + 10) \div 2 = 5$ e $(10 + 20) \div 2 = 15$ .
Passo 3 do roteiro: crie a coluna do ponto médio e a do produto.

Classe	$f_{i}$	$P M_{i}$	$P M_{i} \cdot f_{i}$
$0 ⊢ 10$	2	5	10
$10 ⊢ 20$	3	15	45
Total	5		55

Passo 4 do roteiro: $55 \div 5 = 11$ .
Passo 5 do roteiro: 11 fica entre 0 e 20.

Resultado: a média é 11.

Uma agência mede o tempo de atendimento de 20 pessoas, em minutos. A tabela mostra o resultado. Calcule o tempo médio.

Minutos	Pessoas
$0 ⊢ 4$	5
$4 ⊢ 8$	10
$8 ⊢ 12$	5

Passo 1 do roteiro: a tabela traz classes. A média usa o ponto médio.
Passo 2 do roteiro: os pontos médios são 2, 6 e 10.
Passo 3 do roteiro: crie as colunas $P M_{i}$ e $P M_{i} \cdot f_{i}$ .

Classe	$f_{i}$	$P M_{i}$	$P M_{i} \cdot f_{i}$
$0 ⊢ 4$	5	2	10
$4 ⊢ 8$	10	6	60
$8 ⊢ 12$	5	10	50
Total	20		120

Passo 4 do roteiro: $120 \div 20 = 6$ .
Passo 5 do roteiro: 6 minutos fica entre 0 e 12.

Resultado: o tempo médio é de 6 minutos.

Uma autarquia publica a distribuição dos salários dos seus 50 servidores, em milhares de reais.

Salário (mil R$)	Servidores
$2 ⊢ 4$	10
$4 ⊢ 6$	20
$6 ⊢ 8$	15
$8 ⊢ 10$	5

Julgue a afirmação: o salário médio, calculado pelos pontos médios das classes, é de R$ 6.000,00.

Passo 2 do roteiro: os pontos médios são 3, 5, 7 e 9.
Passo 3 do roteiro: crie as colunas $P M_{i}$ e $P M_{i} \cdot f_{i}$ .

Classe	$f_{i}$	$P M_{i}$	$P M_{i} \cdot f_{i}$
$2 ⊢ 4$	10	3	30
$4 ⊢ 6$	20	5	100
$6 ⊢ 8$	15	7	105
$8 ⊢ 10$	5	9	45
Total	50		280

Passo 4 do roteiro: $280 \div 50 = 5, 6$ , isto é, R$ 5.600,00.
Passo 5 do roteiro: o valor 6 sai de $(3 + 5 + 7 + 9) \div 4 = 24 \div 4 = 6$ . Essa conta esquece as frequências.

Resultado: errado. O salário médio é de R$ 5.600,00.

Uma pesquisa mostra a idade dos usuários de um serviço público, em percentual. Qual é a idade média, pelos pontos médios?

Idade (anos)	Usuários
$20 ⊢ 30$	25%
$30 ⊢ 40$	40%
$40 ⊢ 50$	20%
$50 ⊢ 60$	15%

A) 32,5 anos
B) 37,5 anos
C) 40,0 anos
D) 42,5 anos
E) 3.750 anos

Passo 1 do roteiro: a tabela traz classes, e a frequência está em percentual.
Passo 2 do roteiro: os pontos médios são 25, 35, 45 e 55.
Passo 3 do roteiro: crie a coluna $P M_{i} \cdot f_{i}$ , com o percentual como número inteiro.

Classe	$f_{i}$	$P M_{i}$	$P M_{i} \cdot f_{i}$
$20 ⊢ 30$	25	25	625
$30 ⊢ 40$	40	35	1.400
$40 ⊢ 50$	20	45	900
$50 ⊢ 60$	15	55	825
Total	100		3.750

Passo 4 do roteiro: $3.750 \div 100 = 37, 5$ .
Passo 5 do roteiro: 37,5 fica entre 20 e 60.

Resultado: alternativa B. A alternativa E é a armadilha de quem esquece de dividir por 100. A alternativa A usa o limite inferior no lugar do ponto médio, a D usa o limite superior e a C ignora as frequências.

O erro comum neste assunto é usar o limite da classe no lugar do ponto médio. Outro erro é tirar a média dos pontos médios sem as frequências. Monte sempre as quatro colunas da tabela auxiliar.

Médias geométrica e harmônica

Este assunto junta dois assuntos do TEC: a média geométrica e a média harmônica.

Comece pela média geométrica. Um investimento dobra num ano: o valor é multiplicado por 2. No ano seguinte, o valor é multiplicado por 8. No total, o valor é multiplicado por $2 \cdot 8 = 16$ . Qual fator, repetido nos dois anos, dá o mesmo total? A resposta é 4, porque $4 \cdot 4 = 16$ . O 4 é a média geométrica. Ela serve para valores que se multiplicam, como fatores de crescimento.

G = n x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}

Nessa fórmula, $G$ é a média geométrica, cada $x$ é um valor e $n$ é a quantidade de valores. Um crescimento de 10% vira o fator $1, 10$ antes da conta.

Agora, a média harmônica. Um carro vai de uma cidade a outra a 60 km/h e volta a 40 km/h. A distância é a mesma na ida e na volta. A velocidade média não é 50 km/h, porque o carro passa mais tempo na volta, que é mais lenta. A média harmônica resolve esse caso. Ela serve para casos com a mesma distância ou o mesmo valor gasto.

H = \frac{n}{\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}}}

Nessa fórmula, $H$ é a média harmônica. A fração $\frac{1}{x}$ é o inverso de cada valor. Você soma os inversos e divide $n$ por essa soma.

Para valores positivos, vale sempre a ordem abaixo. As três médias só são iguais quando todos os valores são iguais.

H \leq G \leq x ˉ

Com dois valores, vale também $G^{2} = x ˉ \cdot H$ .

Reconheça o tipo: fatores ou taxas de crescimento que se acumulam pedem a geométrica; velocidades com a mesma distância ou preços com o mesmo valor gasto pedem a harmônica.
Anote os valores. Transforme cada taxa de crescimento em fator: 25% vira $1, 25$ .
Na geométrica, multiplique os valores e tire a raiz de índice $n$ .
Na harmônica, some os inversos e divida $n$ por essa soma.
Confira a ordem $H \leq G \leq x ˉ$ . Se a questão pede taxa, subtraia 1 do fator médio.

Calcule as médias aritmética, geométrica e harmônica de 2 e 8.

Passo 2 do roteiro: os valores são 2 e 8. A aritmética é $(2 + 8) \div 2 = 5$ .
Passo 3 do roteiro: $G = 2 \cdot 8 = 16 = 4$ .
Passo 4 do roteiro: os inversos são $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{8}$ . A soma é $\frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ . Então, $H = 2 \div \frac{5}{8} = \frac{16}{5} = 3, 2$ .
Passo 5 do roteiro: $3, 2 \leq 4 \leq 5$ . Também $4^{2} = 16$ e $5 \cdot 3, 2 = 16$ .

Resultado: aritmética 5, geométrica 4 e harmônica 3,2.

Um carro faz a ida de 120 km a 60 km/h. Ele volta pela mesma estrada a 40 km/h. Calcule a velocidade média da viagem inteira.

Passo 1 do roteiro: são duas velocidades com a mesma distância. É média harmônica.
Passo 4 do roteiro: $\frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120}$ . Então, $H = 2 \div \frac{5}{120} = \frac{240}{5} = 48$ .
Passo 5 do roteiro: confira pelo tempo. A ida leva $120 \div 60 = 2$ horas. A volta leva $120 \div 40 = 3$ horas. O carro anda $240$ km em $5$ horas: $240 \div 5 = 48$ .

Resultado: a velocidade média é de 48 km/h.

A arrecadação de um município cresce 25% no primeiro ano e 80% no segundo ano. Um analista calcula a taxa média anual de crescimento, que é a taxa fixa que daria o mesmo resultado nos dois anos. Julgue a afirmação: a taxa média anual de crescimento é de 52,5%.

Passo 1 do roteiro: as taxas se acumulam ano a ano. É média geométrica.
Passo 2 do roteiro: os fatores são $1, 25$ e $1, 80$ .
Passo 3 do roteiro: $1, 25 \cdot 1, 80 = 2, 25$ . Então, $G = 2, 25 = 1, 5$ .
Passo 5 do roteiro: o fator médio é 1,5. A taxa média é $1, 5 - 1 = 0, 5$ , isto é, 50%. O valor 52,5% sai de $(25 + 80) \div 2$ , a média aritmética. Confira: $(1, 525)^{2} = 2, 325625$ , que passa de 2,25.

Resultado: errado. A taxa média anual é de 50%.

Um almoxarifado gasta R$ 600,00 por mês com o mesmo material. O preço da unidade é R$ 2,00 no 1º mês, R$ 3,00 no 2º mês e R$ 6,00 no 3º mês. Qual é o preço médio pago por unidade nos três meses?

A) R$ 2,00
B) R$ 3,00
C) R$ 3,30
D) R$ 3,67
E) R$ 11,00

Passo 1 do roteiro: o valor gasto é o mesmo em cada mês. É média harmônica.
Passo 4 do roteiro: os inversos são $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$ . Então, $H = 3 \div 1 = 3$ .
Passo 5 do roteiro: confira pelo total. O almoxarifado compra $600 \div 2 = 300$ , $600 \div 3 = 200$ e $600 \div 6 = 100$ unidades. São 600 unidades por $3 \cdot 600 = 1.800$ reais: $1.800 \div 600 = 3$ .

Resultado: alternativa B. A alternativa D é a armadilha: ela é a média aritmética $(2 + 3 + 6) \div 3$ . A alternativa C é a média geométrica, e a E soma os preços.

O erro comum neste assunto é usar a média aritmética para taxas de crescimento ou para velocidades. Outro erro é esquecer de transformar a taxa em fator antes da geométrica. Na dúvida, confira com a ordem $H \leq G \leq x ˉ$ .

Mediana, quartis, decis e percentis

A mediana é o valor do meio de uma lista em ordem. Pense em cinco crianças em fila, da mais baixa para a mais alta. A criança do meio é a terceira. Metade das outras fica antes dela, e metade fica depois. Com uma lista de quantidade par, há dois valores no meio, e a mediana é a média dos dois.

Os quartis dividem a lista em 4 partes iguais. O 1º quartil ( $Q_{1}$ ) deixa 25% dos dados abaixo dele. O 3º quartil ( $Q_{3}$ ) deixa 75% abaixo. Os decis dividem em 10 partes, e os percentis dividem em 100 partes. A mediana é o 2º quartil, o 5º decil e o 50º percentil. Essas medidas se chamam quantis.

Com dados em classes, a prova pede a interpolação linear. A ideia é supor que os dados de uma classe ficam espalhados por igual dentro dela. A ogiva é o gráfico da frequência acumulada. A frequência acumulada ( $F_{i}$ ) é a soma das frequências até a classe. A fórmula lê a ogiva como uma linha reta dentro da classe:

Q = l_{i} + \frac{P - F _{ant}}{f _{i}} \cdot h

Nessa fórmula, $Q$ é o quantil, $l_{i}$ é o limite inferior da classe do quantil, $P$ é a posição do quantil, $F_{ant}$ é a frequência acumulada da classe anterior, $f_{i}$ é a frequência da classe do quantil e $h$ é a amplitude da classe. A posição é $P = \frac{k \cdot n}{4}$ no quartil $k$ , $P = \frac{k \cdot n}{10}$ no decil $k$ e $P = \frac{k \cdot n}{100}$ no percentil $k$ . Na mediana, $P = \frac{n}{2}$ .

A tabela auxiliar tem a coluna da frequência acumulada:

Classe	$f_{i}$	$F_{i}$ (acumulada)
...	...	...
Total	$n$

Reconheça o tipo: mediana, quartil, decil, percentil, "metade dos dados" ou "os 25% menores" pedem quantil. Veja se os dados estão soltos ou em classes.
Com dados soltos, ponha os valores em ordem crescente e ache o valor do meio.
Com classes, calcule a posição $P$ do quantil.
Monte a tabela auxiliar com a frequência acumulada $F_{i}$ . A classe do quantil é a primeira em que $F_{i}$ alcança ou passa $P$ .
Aplique a fórmula da interpolação com os dados dessa classe.
Confira: o resultado fica dentro da classe escolhida.

Calcule a mediana de 8, 2, 6, 4, 10 e 12.

Passo 2 do roteiro: em ordem, a lista é 2, 4, 6, 8, 10, 12. São 6 valores, uma quantidade par.
Passo 2 do roteiro: os valores do meio são o 3º e o 4º, isto é, 6 e 8. A mediana é $(6 + 8) \div 2 = 7$ .
Passo 6 do roteiro: há 3 valores abaixo de 7 e 3 valores acima.

Resultado: a mediana é 7.

Uma central mede o tempo de espera de 20 ligações, em minutos. Calcule a mediana pela interpolação.

Minutos	Ligações
$0 ⊢ 10$	4
$10 ⊢ 20$	10
$20 ⊢ 30$	6

Passo 3 do roteiro: a posição da mediana é $20 \div 2 = 10$ .
Passo 4 do roteiro: crie a coluna $F_{i}$ . Some as frequências de cima para baixo: $4$ , $4 + 10 = 14$ e $14 + 6 = 20$ .

Classe	$f_{i}$	$F_{i}$
$0 ⊢ 10$	4	4
$10 ⊢ 20$	10	14
$20 ⊢ 30$	6	20
Total	20

Passo 4 do roteiro: a primeira acumulada que alcança 10 é 14. A classe é $10 ⊢ 20$ .
Passo 5 do roteiro: $l_{i} = 10$ , $F_{ant} = 4$ , $f_{i} = 10$ e $h = 10$ . Então, $10 + \frac{10 - 4}{10} \cdot 10 = 10 + 6 = 16$ .
Passo 6 do roteiro: 16 fica dentro de $10 ⊢ 20$ .

Resultado: a mediana é de 16 minutos.

Use os salários dos 50 servidores da autarquia do assunto anterior. Julgue a afirmação: pela interpolação linear, o terceiro quartil é de R$ 7.000,00, e 75% dos servidores ganham até esse valor.

Passo 3 do roteiro: a posição do terceiro quartil é $\frac{3 \cdot 50}{4} = 37, 5$ .
Passo 4 do roteiro: crie a coluna $F_{i}$ : $10$ , $10 + 20 = 30$ , $30 + 15 = 45$ e $45 + 5 = 50$ .

Classe	$f_{i}$	$F_{i}$
$2 ⊢ 4$	10	10
$4 ⊢ 6$	20	30
$6 ⊢ 8$	15	45
$8 ⊢ 10$	5	50
Total	50

Passo 4 do roteiro: a primeira acumulada que passa 37,5 é 45. A classe é $6 ⊢ 8$ .
Passo 5 do roteiro: $l_{i} = 6$ , $F_{ant} = 30$ , $f_{i} = 15$ e $h = 2$ . Então, $6 + \frac{37 , 5 - 30}{15} \cdot 2 = 6 + \frac{7 , 5}{15} \cdot 2 = 6 + 1 = 7$ .
Passo 6 do roteiro: 7 fica dentro de $6 ⊢ 8$ . O terceiro quartil deixa 75% dos dados abaixo dele.

Resultado: certo. O terceiro quartil é de R$ 7.000,00, e as duas partes da afirmação estão corretas.

Um concurso tem 100 candidatos. A tabela mostra as notas. A banca chama para a próxima fase os 30% de notas mais altas. Pela interpolação linear, qual é a nota mínima para passar?

Nota	Candidatos
$0 ⊢ 20$	5
$20 ⊢ 40$	15
$40 ⊢ 60$	40
$60 ⊢ 80$	30
$80 ⊢ 100$	10

A) 45,00
B) 60,00
C) 66,67
D) 70,00
E) 80,00

Passo 1 do roteiro: os 30% mais altos ficam acima de uma nota. Abaixo dela ficam 70% dos candidatos. A questão pede o percentil 70, e não o percentil 30.
Passo 3 do roteiro: $P = \frac{70 \cdot 100}{100} = 70$ .
Passo 4 do roteiro: crie a coluna $F_{i}$ : $5$ , $20$ , $60$ , $90$ e $100$ .

Classe	$f_{i}$	$F_{i}$
$0 ⊢ 20$	5	5
$20 ⊢ 40$	15	20
$40 ⊢ 60$	40	60
$60 ⊢ 80$	30	90
$80 ⊢ 100$	10	100
Total	100

Passo 4 do roteiro: a primeira acumulada que passa 70 é 90. A classe é $60 ⊢ 80$ .
Passo 5 do roteiro: $l_{i} = 60$ , $F_{ant} = 60$ , $f_{i} = 30$ e $h = 20$ . Então, $60 + \frac{70 - 60}{30} \cdot 20 = 60 + \frac{200}{30} = 60 + 6, 67 = 66, 67$ , com duas casas.
Passo 6 do roteiro: 66,67 fica dentro de $60 ⊢ 80$ .

Resultado: alternativa C. A alternativa A é a armadilha: ela calcula o percentil 30. A alternativa E usa a frequência simples da classe anterior (40) no lugar da acumulada (60).

O erro comum neste assunto é esquecer de pôr a lista em ordem antes de achar a mediana. Nas classes, o erro mais comum é usar a frequência simples da classe anterior no lugar da acumulada. Outro erro é ler "os 30% maiores" como percentil 30.

Moda

Este assunto junta três assuntos do TEC: a moda para dados não agrupados, a moda para dados agrupados por valor e a moda para dados agrupados em classes.

Uma loja de calçados vende pares de vários números. O número que mais sai é a moda. A moda é o valor que aparece mais vezes. Uma lista pode ter uma moda, duas modas (bimodal) ou nenhuma moda (amodal), quando todos os valores aparecem o mesmo número de vezes.

Numa tabela por valor, a moda é o valor da linha com a maior frequência. A moda é o valor $x_{i}$ , e não a frequência.

Nas classes, a classe modal é a classe de maior frequência. A moda bruta é o ponto médio da classe modal. A banca também cobra três fórmulas que acham um ponto dentro da classe modal.

A fórmula de Czuber olha a diferença entre a classe modal e as vizinhas:

M o = l + \frac{Δ _{1}}{Δ _{1} + Δ _{2}} \cdot h

Nessa fórmula, $l$ é o limite inferior da classe modal, $h$ é a amplitude, $Δ_{1}$ é a frequência da classe modal menos a da classe anterior e $Δ_{2}$ é a frequência da classe modal menos a da classe seguinte.

A fórmula de King olha só as frequências das vizinhas:

M o = l + \frac{f _{post}}{f _{ant} + f _{post}} \cdot h

Nessa fórmula, $f_{ant}$ é a frequência da classe anterior e $f_{post}$ é a frequência da classe seguinte. As duas fórmulas puxam a moda para o lado da vizinha com mais dados.

A fórmula de Pearson usa a média e a mediana. Ela vale para distribuições quase simétricas:

M o = 3 \cdot M d - 2 \cdot x ˉ

Nessa fórmula, $M d$ é a mediana e $x ˉ$ é a média. A tabela auxiliar marca a classe modal e as vizinhas:

Classe	$f_{i}$	Papel
...	$f_{ant}$	anterior
...	maior	modal
...	$f_{post}$	seguinte

Reconheça o tipo: "valor mais frequente" ou "moda". Veja se os dados estão soltos, por valor ou em classes, e se a questão pede bruta, Czuber, King ou Pearson.
Com dados soltos, conte quantas vezes cada valor aparece. Com dados por valor, ache a maior frequência e responda o valor da linha.
Com classes, ache a classe modal e anote $l$ , $h$ , $f_{ant}$ e $f_{post}$ .
Aplique a fórmula pedida: bruta usa o ponto médio, Czuber usa as diferenças, King usa as vizinhas e Pearson usa a média e a mediana.
Confira: a moda bruta, a de Czuber e a de King ficam dentro da classe modal.

Ache a moda de 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8 e 9.

Passo 2 do roteiro: o 5 aparece 2 vezes, o 8 aparece 3 vezes e os outros aparecem 1 vez.
Passo 2 do roteiro: o 8 aparece mais vezes.

Resultado: a moda é 8.

Um setor anota as faltas dos servidores no ano. Ache a moda das faltas.

Faltas	Servidores
0	6
1	9
2	12
3	5
4	2

Passo 1 do roteiro: os dados estão agrupados por valor.
Passo 2 do roteiro: a maior frequência é 12. Ela fica na linha do valor 2.
Passo 5 do roteiro: a resposta é o valor 2, e não a frequência 12.

Resultado: a moda é de 2 faltas.

Calcule a moda bruta, a moda de Czuber e a moda de King dos dados abaixo, com duas casas.

Classe	$f_{i}$
$0 ⊢ 10$	2
$10 ⊢ 20$	8
$20 ⊢ 30$	5

Passo 3 do roteiro: a classe modal é $10 ⊢ 20$ , com frequência 8. Então, $l = 10$ , $h = 10$ , $f_{ant} = 2$ e $f_{post} = 5$ .
Passo 4 do roteiro: a moda bruta é $(10 + 20) \div 2 = 15$ .
Passo 4 do roteiro: em Czuber, $Δ_{1} = 8 - 2 = 6$ e $Δ_{2} = 8 - 5 = 3$ . Então, $10 + \frac{6}{9} \cdot 10 = 10 + 6, 67 = 16, 67$ .
Passo 4 do roteiro: em King, $10 + \frac{5}{2 + 5} \cdot 10 = 10 + 7, 14 = 17, 14$ .
Passo 5 do roteiro: os três valores ficam dentro de $10 ⊢ 20$ .

Resultado: bruta 15, Czuber 16,67 e King 17,14.

A autarquia dos assuntos anteriores tem a distribuição de salários abaixo, em milhares de reais.

Salário (mil R$)	Servidores
$2 ⊢ 4$	10
$4 ⊢ 6$	20
$6 ⊢ 8$	15
$8 ⊢ 10$	5

Julgue a afirmação: pela fórmula de Czuber, a moda dos salários é de R$ 5.200,00.

Passo 3 do roteiro: a classe modal é $4 ⊢ 6$ , com frequência 20. Então, $l = 4$ , $h = 2$ , $f_{ant} = 10$ e $f_{post} = 15$ .
Passo 4 do roteiro: em Czuber, $Δ_{1} = 20 - 10 = 10$ e $Δ_{2} = 20 - 15 = 5$ . Então, $4 + \frac{10}{15} \cdot 2 = 4 + 1, 33 = 5, 33$ , com duas casas.
Passo 5 do roteiro: o valor 5,2 sai da fórmula de King: $4 + \frac{15}{10 + 15} \cdot 2 = 4 + 1, 2 = 5, 2$ . A afirmação troca Czuber por King.

Resultado: errado. Pela fórmula de Czuber, a moda é de cerca de R$ 5.333,33.

Na mesma autarquia, a média dos salários é de R$ 5.600,00, e a mediana é de R$ 5.500,00. Qual é a moda pela fórmula de Pearson?

A) R$ 5.000,00
B) R$ 5.200,00
C) R$ 5.300,00
D) R$ 5.333,33
E) R$ 5.800,00

Passo 1 do roteiro: a questão pede Pearson e dá a média e a mediana.
Passo 4 do roteiro: em milhares, $3 \cdot 5, 5 = 16, 5$ e $2 \cdot 5, 6 = 11, 2$ . Então, $16, 5 - 11, 2 = 5, 3$ .
Passo 5 do roteiro: 5,3 mil fica perto da média e da mediana, como esperado numa distribuição quase simétrica.

Resultado: alternativa C. A alternativa E é a armadilha: ela troca a média pela mediana na fórmula, $3 \cdot 5, 6 - 2 \cdot 5, 5 = 5, 8$ . A alternativa A é a moda bruta, a B é King e a D é Czuber.

O erro comum neste assunto é responder a frequência no lugar do valor. Nas classes, o erro mais cobrado é trocar Czuber por King. Lembre: Czuber usa as diferenças ( $Δ$ ), e King usa só as vizinhas.

Propriedades das medidas de posição

Uma empresa dá R$ 100,00 a mais para cada empregado. O salário médio, o salário do meio e o salário mais comum também sobem R$ 100,00. Com 10% de aumento para todos, as três medidas ficam 10% maiores.

Essa é a regra das propriedades. Quando cada dado muda pela conta $y = a \cdot x + b$ , cada medida de posição muda pela mesma conta:

y ˉ = a \cdot x ˉ + b

Nessa fórmula, $x$ é o dado antigo, $y$ é o dado novo, $a$ é o número que multiplica e $b$ é o número que soma. A mesma regra vale para a mediana, a moda e os quantis. A ordem das operações importa: aumentar 10% e depois somar R$ 300,00 é $y = 1, 1 \cdot x + 300$ . Somar R$ 300,00 e depois aumentar 10% é $y = 1, 1 \cdot (x + 300)$ .

A soma das diferenças entre cada dado e a média é sempre zero:

\sum (x_{i} - x ˉ) = 0

A segunda propriedade fala dos valores extremos. Um valor extremo é um dado muito maior ou muito menor que os outros. A média muda muito com um valor extremo. A mediana e a moda mudam pouco ou nada.

Reconheça o tipo: "todos os valores foram somados", "multiplicados", "reajuste", "conversão de unidade" ou "um valor muito alto entrou".
Escreva a mudança na forma $y = a \cdot x + b$ , na ordem do enunciado.
Aplique a mesma conta à média, à mediana, à moda e aos quantis.
Com valor extremo, recalcule cada medida. A média muda muito; a mediana e a moda mudam pouco.
Confira: a ordem das operações e se a questão pede a nova medida ou só a diferença.

Um conjunto de dados tem média 50, mediana 48 e moda 45. Some 10 a cada dado. Ache as novas medidas.

Passo 2 do roteiro: a mudança é $y = x + 10$ . Então, $a = 1$ e $b = 10$ .
Passo 3 do roteiro: média $50 + 10 = 60$ , mediana $48 + 10 = 58$ e moda $45 + 10 = 55$ .

Resultado: média 60, mediana 58 e moda 55.

Uma estação mede temperaturas em graus Celsius. A média é de 20 °C e a mediana é de 22 °C. A conversão para Fahrenheit é $F = 1, 8 \cdot C + 32$ . Ache a média e a mediana em Fahrenheit.

Passo 2 do roteiro: a mudança é $y = 1, 8 \cdot x + 32$ .
Passo 3 do roteiro: média $1, 8 \cdot 20 = 36$ e $36 + 32 = 68$ . Mediana $1, 8 \cdot 22 = 39, 6$ e $39, 6 + 32 = 71, 6$ .

Resultado: média de 68 °F e mediana de 71,6 °F.

Os servidores de uma fundação têm salário médio de R$ 5.000,00 e salário mediano de R$ 4.000,00. A fundação dá um reajuste de 10% a todos. Depois do reajuste, cada servidor ganha também um abono de R$ 300,00. Julgue a afirmação: o novo salário médio é de R$ 5.830,00.

Passo 2 do roteiro: primeiro vem o reajuste, depois o abono. A mudança é $y = 1, 1 \cdot x + 300$ .
Passo 3 do roteiro: $1, 1 \cdot 5.000 = 5.500$ e $5.500 + 300 = 5.800$ .
Passo 5 do roteiro: o valor 5.830 sai de $(5.000 + 300) \cdot 1, 1$ . Essa conta põe o abono antes do reajuste. A mediana nova é $1, 1 \cdot 4.000 + 300 = 4.700$ .

Resultado: errado. O novo salário médio é de R$ 5.800,00.

Uma equipe tem 5 servidores com salários de 3, 4, 4, 5 e 6 mil reais. Um diretor com salário de 26 mil reais entra na equipe. Assinale a afirmação correta.

A) A média passa a 8 mil, e a mediana não muda.
B) A média passa a 8 mil, a mediana passa a 4,5 mil e a moda continua 4 mil.
C) A moda passa a 26 mil.
D) A média, a mediana e a moda sobem a mesma quantia.
E) A mediana passa a 15 mil.

Passo 1 do roteiro: um valor muito alto entrou. Recalcule cada medida.
Passo 4 do roteiro: antes, a média é $22 \div 5 = 4, 4$ , a mediana é 4 e a moda é 4.
Passo 4 do roteiro: depois, a soma é $22 + 26 = 48$ e a média é $48 \div 6 = 8$ . A lista em ordem é 3, 4, 4, 5, 6, 26. Os valores do meio são 4 e 5, e a mediana é $(4 + 5) \div 2 = 4, 5$ . O 4 continua o valor mais frequente.
Passo 5 do roteiro: a média sobe 3,6 mil. A mediana sobe só 0,5 mil.

Resultado: alternativa B. A alternativa A é a armadilha: a mediana muda um pouco, porque a quantidade de dados passa a ser par. A alternativa E tira a média entre 4 e 26.

O erro comum neste assunto é ignorar a ordem das operações num reajuste com abono. Outro erro é achar que a mediana nunca muda com um valor extremo. Ela muda pouco, mas pode mudar.

Medidas de posição
- Médias
  - Aritmética, por valor e ponderada
  - Classes: ponto médio
  - Geométrica e harmônica
- Quantis
  - Classes: interpolação
- Moda
  - Bruta, Czuber, King e Pearson
- Propriedades

Quadros e comparações

Medida	Quando usar	Valor extremo
Média aritmética	dados soltos ou em tabela	muda muito
Média ponderada	valores com pesos diferentes	muda
Média geométrica	fatores e taxas de crescimento	muda menos
Média harmônica	mesma distância ou mesmo gasto	muda menos
Mediana	valor do meio	muda pouco
Moda	valor mais frequente	quase não muda

Formato dos dados	Média	Mediana	Moda
Lista solta	soma dividida por $n$	valor do meio da lista em ordem	valor que mais aparece
Tabela por valor	coluna $x_{i} \cdot f_{i}$	posição na frequência acumulada	valor da maior frequência
Tabela em classes	coluna $P M_{i} \cdot f_{i}$	interpolação na classe da mediana	bruta, Czuber, King ou Pearson

Para decorar

Média com dados soltos: $x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{n}$ .
Média com frequência ou peso: $x ˉ = \frac{\sum x _{i} \cdot f _{i}}{\sum f _{i}}$ .
Ponto médio: $P M = \frac{l + L}{2}$ .
Geométrica: $G = n x_{1} \cdot \dots \cdot x_{n}$ .
Harmônica: $H = \frac{n}{\sum \frac{1}{x _{i}}}$ .
Ordem das médias: $H \leq G \leq x ˉ$ ; com dois valores, $G^{2} = x ˉ \cdot H$ .
Quantil em classes: $Q = l_{i} + \frac{P - F _{ant}}{f _{i}} \cdot h$ , com $P = \frac{n}{2}$ na mediana e $P = \frac{3 n}{4}$ no terceiro quartil.
Czuber: $M o = l + \frac{Δ _{1}}{Δ _{1} + Δ _{2}} \cdot h$ .
King: $M o = l + \frac{f _{post}}{f _{ant} + f _{post}} \cdot h$ .
Pearson: $M o = 3 \cdot M d - 2 \cdot x ˉ$ .
Propriedade: se $y = a \cdot x + b$ , então $y ˉ = a \cdot x ˉ + b$ , e o mesmo vale para a mediana, a moda e os quantis.
Desvios: $\sum (x_{i} - x ˉ) = 0$ .

Pegadinhas

#	Errado	Certo
1	A média de uma tabela por valor é a média dos valores da tabela.	A média usa as frequências: some $x_{i} \cdot f_{i}$ e divida pelo total de $f_{i}$ .
2	O salário médio do órgão é a média das médias dos setores.	Cada setor pesa pelo número de servidores.
3	A taxa média de crescimento é a média aritmética das taxas.	A taxa média vem da média geométrica dos fatores.
4	Os 30% maiores ficam acima do percentil 30.	Os 30% maiores ficam acima do percentil 70.
5	A fórmula de Czuber usa só as frequências das vizinhas.	Essa é a fórmula de King. Czuber usa as diferenças $Δ_{1}$ e $Δ_{2}$ .
6	Reajuste de 10% e depois abono de R$ 300,00 dá $(x + 300) \cdot 1, 1$ .	A ordem do enunciado dá $1, 1 \cdot x + 300$ .

Fontes e data

Este guia não usa norma. As fórmulas são da estatística descritiva básica. Todas as contas dos exemplos foram conferidas em 13/10/2026.

Estatística Descritiva: Medidas de Posição (Média, Moda, Mediana)