Matemática Básica: Números Naturais e Inteiros: resumo para concursos

Do que trata o tópico

Este tópico trata dos números que você usa para contar e dos números que podem ficar abaixo de zero. Os primeiros são os números naturais. Os segundos são os números inteiros. O tópico mostra como os números naturais se escrevem, como fazer as quatro operações com eles e como fazer contas com números negativos. A banca usa esses assuntos em questões de contagem de páginas, de divisão de tarefas entre servidores, de saldo de conta, de temperatura e de expressões numéricas. Quase toda questão de matemática da prova usa alguma coisa deste tópico. Por isso, vale a pena fazer cada conta com calma aqui.

Conteúdo

Números naturais e a forma de escrever os números

Pense em uma criança que conta as balas de um pacote. Ela diz "zero" se o pacote está vazio. Depois ela diz um, dois, três, e assim por diante. Esses números de contar são os números naturais. O conjunto dos números naturais tem um nome curto: $N$ .

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots}

Nessa escrita, as chaves juntam os elementos do conjunto. Os três pontos dizem que a lista não acaba. O zero faz parte dos números naturais. Quando a questão quer tirar o zero, ela usa um asterisco: $N^{*} = {1, 2, 3, \dots}$ . O conjunto $N^{*}$ se chama conjunto dos naturais não nulos. "Não nulo" quer dizer "diferente de zero".

Todo número natural tem um sucessor. O sucessor é o número que vem logo depois. O sucessor de 7 é 8. O sucessor de $n$ é $n + 1$ . O antecessor é o número que vem logo antes. O antecessor de 7 é 6. O antecessor de $n$ é $n - 1$ . O zero não tem antecessor dentro dos números naturais, porque não existe número natural menor que zero. A banca gosta de cobrar esse detalhe.

Números consecutivos são números que vêm um logo depois do outro, como 12, 13 e 14. Se o primeiro é $n$ , os seguintes são $n + 1$ e $n + 2$ . Essa forma de escrever ajuda a montar a conta quando a questão fala em "três números consecutivos".

Um número natural é par quando ele se divide por 2 sem sobrar nada. Os pares são 0, 2, 4, 6 e assim por diante. Um número é ímpar quando sobra 1 na divisão por 2. Os ímpares são 1, 3, 5, 7 e assim por diante. A soma de dois números consecutivos é sempre ímpar, porque um deles é par e o outro é ímpar.

Agora veja a forma de escrever os números. O nosso sistema usa dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Algarismo é cada um desses dez símbolos. O número 47.352 tem cinco algarismos. A posição de cada algarismo muda o valor dele. Por isso o sistema se chama sistema decimal posicional.

Cada posição se chama ordem. Da direita para a esquerda, as ordens são unidade, dezena, centena, unidade de milhar, dezena de milhar, e assim por diante. Cada ordem vale 10 vezes a ordem da direita. Três ordens juntas formam uma classe. A classe das unidades simples tem unidade, dezena e centena. A classe dos milhares tem unidade de milhar, dezena de milhar e centena de milhar. O ponto que você escreve em 47.352 separa as classes.

Número	Dezena de milhar	Unidade de milhar	Centena	Dezena	Unidade
47.352	4	7	3	5	2
Valor relativo	40.000	7.000	300	50	2

O valor absoluto de um algarismo é o próprio algarismo, sem olhar a posição. O valor relativo é o valor que o algarismo tem na posição em que está. No número 47.352, o valor absoluto do 7 é 7. O valor relativo do 7 é 7.000, porque ele está na ordem das unidades de milhar. A soma dos valores relativos devolve o número. Essa soma se chama decomposição:

47.352 = 40.000 + 7.000 + 300 + 50 + 2

Duas contas de contagem aparecem muito. A primeira conta diz quantos números inteiros existem de $a$ até $b$ , com os dois extremos incluídos:

quantidade = b - a + 1

Nessa fórmula, $a$ é o primeiro número da lista e $b$ é o último. O "+ 1" existe porque a subtração conta os saltos entre os números, e não os números. De 3 até 5 há dois saltos (de 3 para 4 e de 4 para 5), mas há três números: 3, 4 e 5.

A segunda conta diz quantos algarismos você usa para escrever uma lista de números. Os números de 1 a 9 têm 1 algarismo. Os números de 10 a 99 têm 2 algarismos. Os números de 100 a 999 têm 3 algarismos. Você separa a lista nessas faixas, conta os números de cada faixa e multiplica pela quantidade de algarismos.

Faixa	Quantidade de números	Algarismos por número	Algarismos usados
1 a 9	9	1	9
10 a 99	90	2	180
100 a 999	900	3	2.700

Reconheça o tipo da questão: valor de um algarismo, contagem de números, contagem de algarismos ou números consecutivos.
Anote os dados: o número, o primeiro e o último da lista, ou a soma dada.
Escolha a ferramenta: a posição do algarismo, a conta $b - a + 1$ , a separação em faixas ou a escrita $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ .
Faça a conta, uma etapa por vez.
Confira o que a questão pede: o menor ou o maior número, o valor absoluto ou o relativo, com ou sem os extremos.

No número 47.352, ache o valor absoluto e o valor relativo do algarismo 7. Depois escreva a decomposição do número.

Passo 1 do roteiro: a questão pede o valor de um algarismo.
Passo 2 do roteiro: o número é 47.352 e o algarismo é o 7.
Passo 3 do roteiro: o 7 está na segunda posição a partir da esquerda. Da direita para a esquerda, ele está na quarta ordem, a das unidades de milhar.
Passo 4 do roteiro: o valor absoluto é o próprio algarismo, 7. O valor relativo é $7 \cdot 1.000 = 7.000$ . A decomposição é $40.000 + 7.000 + 300 + 50 + 2$ .
Passo 5 do roteiro: a soma $40.000 + 7.000 + 300 + 50 + 2 = 47.352$ devolve o número. A conta confere.

Resultado: o valor absoluto é 7 e o valor relativo é 7.000.

Um setor numera as senhas de atendimento do dia de 15 até 40. O chefe quer saber quantas senhas foram usadas. Ele também quer saber quantas senhas ficam estritamente entre a senha 15 e a senha 40.

Passo 1 do roteiro: a questão pede uma contagem de números.
Passo 2 do roteiro: o primeiro número é 15 e o último é 40.
Passo 3 do roteiro: com os dois extremos, use $b - a + 1$ . "Estritamente entre" tira os dois extremos.
Passo 4 do roteiro: com os extremos, $40 - 15 = 25$ e $25 + 1 = 26$ . Sem os extremos, $26 - 2 = 24$ .
Passo 5 do roteiro: a primeira pergunta inclui as senhas 15 e 40. A segunda não inclui.

Resultado: foram usadas 26 senhas, e 24 senhas ficam estritamente entre 15 e 40.

Uma servidora precisa saber quantos números ímpares existem de 20 até 60. Ela quer a resposta sem escrever todos os números.

Passo 1 do roteiro: a questão pede uma contagem de números, mas só dos ímpares.
Passo 2 do roteiro: 20 e 60 são pares. O primeiro ímpar da lista é 21 e o último é 59.
Passo 3 do roteiro: os ímpares andam de 2 em 2. Por isso, conte os saltos de 2 e some 1.
Passo 4 do roteiro: $59 - 21 = 38$ . Os saltos de 2 são $38 \div 2 = 19$ . A quantidade é $19 + 1 = 20$ .
Passo 5 do roteiro: de 20 até 60 há 41 números. Perto da metade deles é ímpar. O resultado 20 faz sentido.

Resultado: existem 20 números ímpares de 20 até 60.

Um tribunal monta os autos de um processo com 250 páginas. As páginas são numeradas a partir de 1, uma por uma, com carimbo de algarismos. Um técnico precisa repor a tinta e calcula quantos algarismos foram carimbados. Ele afirma: "Como cada página tem um número de três algarismos, foram carimbados 750 algarismos." Julgue a afirmação.

Passo 1 do roteiro: a questão pede a contagem de algarismos.
Passo 2 do roteiro: a lista vai de 1 até 250.
Passo 3 do roteiro: separe a lista em faixas. As páginas de 1 a 9 têm 1 algarismo. As páginas de 10 a 99 têm 2. As páginas de 100 a 250 têm 3.
Passo 4 do roteiro: monte uma linha por faixa, com a quantidade de páginas e os algarismos usados.

Faixa	Quantidade de páginas	Algarismos por página	Algarismos usados
1 a 9	9	1	9
10 a 99	90	2	180
100 a 250	151	3	453
Total	250		642

Passo 4 do roteiro (continuação): a faixa de 100 a 250 tem $250 - 100 + 1 = 151$ páginas. Os algarismos dessa faixa são $151 \cdot 3 = 453$ . O total é $9 + 180 + 453 = 642$ .
Passo 5 do roteiro: o técnico usou 3 algarismos para todas as páginas. As páginas de 1 a 99 têm menos de 3 algarismos. Por isso, a conta dele dá mais do que o certo.

Resultado: errado. Foram carimbados 642 algarismos, e não 750.

A soma de três números naturais consecutivos é 222. Um analista precisa informar o maior desses três números. Assinale a alternativa certa.

A) 72
B) 73
C) 74
D) 75
E) 76

Passo 1 do roteiro: a questão fala em números consecutivos.
Passo 2 do roteiro: a soma dos três números é 222.
Passo 3 do roteiro: escreva os números como $n$ , $n + 1$ e $n + 2$ .
Passo 4 do roteiro: a soma é $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3$ . Então $3 n + 3 = 222$ . Tire 3 dos dois lados: $3 n = 219$ . Divida por 3: $n = 73$ . Os números são 73, 74 e 75.
Passo 5 do roteiro: a questão pede o maior número. A soma $73 + 74 + 75 = 222$ confere.

Resultado: alternativa D.

A alternativa mais tentadora é a B, que traz o menor número (o valor de $n$ ). A alternativa C também engana: ela é o número do meio, que é $222 \div 3$ .

O erro comum neste assunto é esquecer o "+ 1" na contagem de números de $a$ até $b$ . Outro erro comum é confundir o valor absoluto com o valor relativo. Na contagem de algarismos, o erro é usar a mesma quantidade de algarismos para todas as páginas. Para evitar esses erros, separe sempre a lista em faixas e confira com um caso pequeno, como de 3 até 5.

As quatro operações com números naturais

Imagine uma pequena papelaria. Ela tem 30 cadernos e recebe mais 20. Agora ela tem $30 + 20 = 50$ cadernos. Isso é uma adição. Depois ela vende 12. Sobram $50 - 12 = 38$ . Isso é uma subtração. Ela compra 4 caixas com 6 canetas cada. São $4 \cdot 6 = 24$ canetas. Isso é uma multiplicação. Por fim, ela divide 24 canetas em 3 vitrines iguais. Cada vitrine fica com $24 \div 3 = 8$ canetas. Isso é uma divisão.

Cada parte da conta tem um nome, e a banca usa esses nomes no enunciado.

Operação	Exemplo	Nome dos termos	Nome do resultado
Adição	$30 + 20 = 50$	parcelas	soma ou total
Subtração	$50 - 12 = 38$	minuendo e subtraendo	diferença ou resto
Multiplicação	$4 \cdot 6 = 24$	fatores	produto
Divisão	$24 \div 3 = 8$	dividendo e divisor	quociente

Na subtração, o minuendo é o número de onde você tira. O subtraendo é o número que você tira. A prova real da subtração é somar a diferença com o subtraendo: $38 + 12 = 50$ . Se a soma devolve o minuendo, a conta está certa.

A adição e a multiplicação têm propriedades que ajudam a fazer conta de cabeça. A propriedade comutativa diz que a ordem não muda o resultado: $4 \cdot 6 = 6 \cdot 4$ . A propriedade associativa diz que você pode juntar os termos como quiser: $(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)$ . O elemento neutro é o número que não muda o resultado. Na adição, o elemento neutro é o 0. Na multiplicação, o elemento neutro é o 1.

A propriedade distributiva liga a multiplicação à adição. Você compra 3 kits, e cada kit tem 4 canetas e 2 lápis. Você pode somar antes e multiplicar depois: $3 \cdot (4 + 2) = 3 \cdot 6 = 18$ . Você também pode multiplicar cada parte e somar: $3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 12 + 6 = 18$ . Os dois caminhos dão o mesmo número:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Nessa fórmula, $a$ é o número que multiplica, e $b$ e $c$ são as duas parcelas de dentro dos parênteses.

A subtração e a divisão não são comutativas. A conta $10 - 4$ dá 6, mas $4 - 10$ não dá um número natural. A conta $12 \div 3$ dá 4, mas $3 \div 12$ não dá um número natural. Nenhum número se divide por zero. A conta $0 \div 5$ dá 0, mas a conta $5 \div 0$ não existe.

Agora a divisão com sobra. Você tem 17 balas para dar a 5 crianças, em partes iguais. Cada criança recebe 3 balas. Isso usa $5 \cdot 3 = 15$ balas. Sobram $17 - 15 = 2$ balas. A sobra se chama resto. Essa ideia vira a relação fundamental da divisão:

D = d \cdot q + r, com 0 \leq r < d

Nessa fórmula, $D$ é o dividendo (o total que você divide), $d$ é o divisor (em quantas partes você divide), $q$ é o quociente (quanto cada parte recebe) e $r$ é o resto (o que sobra). O resto é sempre menor que o divisor. Se o resto fosse igual ao divisor ou maior, daria para entregar mais uma bala a cada criança. Por isso, o maior resto possível é $d - 1$ .

Quando a divisão tem resto zero, ela se chama divisão exata. Nesse caso, $D$ é múltiplo de $d$ .

O resto também resolve as questões de ciclo, como os dias da semana. A semana tem 7 dias. A cada 7 dias, o dia da semana se repete. Para saber o dia da semana daqui a muitos dias, divida o número de dias por 7 e olhe só o resto. O resto diz quantos dias você anda para a frente.

Por fim, a ordem das operações numa expressão numérica. Expressão numérica é uma conta com várias operações juntas. Faça primeiro o que está dentro dos parênteses. Depois, as potências. Depois, as multiplicações e as divisões, da esquerda para a direita. Por último, as adições e as subtrações, da esquerda para a direita. Por exemplo, $20 - 4 \cdot 3 = 20 - 12 = 8$ . Quem faz a subtração antes acha $16 \cdot 3 = 48$ , que está errado.

Reconheça a operação pelo enunciado: "juntar" e "total" pedem adição; "sobra" e "diferença" pedem subtração; "cada um recebe" e "em partes iguais" pedem divisão; "cada caixa tem" pede multiplicação.
Anote os números e o que cada um representa.
Se a questão traz dados em colunas, monte uma linha por item e uma coluna para cada conta.
Faça as contas na ordem certa: parênteses, potências, multiplicações e divisões, adições e subtrações.
Na divisão, escreva $D = d \cdot q + r$ e confira se o resto é menor que o divisor.
Confira o que a questão pede: o quociente, o resto, o que falta para completar ou o total.

Divida 347 por 12. Ache o quociente e o resto e faça a prova real.

Passo 1 do roteiro: a questão pede uma divisão.
Passo 2 do roteiro: o dividendo é 347 e o divisor é 12.
Passo 4 do roteiro: procure o maior número que, vezes 12, não passa de 347. $12 \cdot 28 = 336$ e $12 \cdot 29 = 348$ . O 348 passa de 347. Então o quociente é 28.
Passo 5 do roteiro: o resto é $347 - 336 = 11$ . O resto 11 é menor que o divisor 12. A prova real é $12 \cdot 28 + 11 = 336 + 11 = 347$ .
Passo 6 do roteiro: a questão pede o quociente e o resto.

Resultado: o quociente é 28 e o resto é 11.

Numa divisão de números naturais, o divisor é 15 e o quociente é 8. O resto é o maior possível. Ache o dividendo.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em divisor, quociente e resto. É uma divisão.
Passo 2 do roteiro: $d = 15$ e $q = 8$ . O resto não foi dado, mas é o maior possível.
Passo 5 do roteiro: o resto é menor que o divisor. O maior resto possível é $15 - 1 = 14$ .
Passo 5 do roteiro (continuação): $D = 15 \cdot 8 + 14 = 120 + 14 = 134$ .
Passo 6 do roteiro: confira com a divisão. $134 \div 15$ dá 8, e $15 \cdot 8 = 120$ . O resto é $134 - 120 = 14$ . A conta confere.

Resultado: o dividendo é 134.

Um almoxarifado começa o mês com 480 resmas de papel. As entradas e as saídas das três primeiras semanas estão no quadro abaixo. Ache o estoque no fim da terceira semana.

Semana	Entrada	Saída
1	120	95
2	0	160
3	200	138

Passo 1 do roteiro: entrada pede adição e saída pede subtração.
Passo 2 do roteiro: o estoque inicial é 480. Os outros números estão no quadro.
Passo 3 do roteiro: monte uma coluna para o estoque no fim de cada semana. Cada linha parte do estoque da linha de cima, soma a entrada e tira a saída.

Semana	Estoque no início	Entrada	Saída	Estoque no fim
1	480	120	95	505
2	505	0	160	345
3	345	200	138	407
Total		320	393

Passo 4 do roteiro: semana 1: $480 + 120 - 95 = 505$ . Semana 2: $505 + 0 - 160 = 345$ . Semana 3: $345 + 200 - 138 = 407$ .
Passo 6 do roteiro: confira pelos totais. $480 + 320 - 393 = 407$ . Os dois caminhos dão o mesmo número.

Resultado: o estoque no fim da terceira semana é de 407 resmas.

Uma secretaria compra material de escritório. O quadro abaixo traz a quantidade de cada item e o preço de cada unidade.

Item	Quantidade	Preço unitário
Caneta	150	R$ 3,00
Caderno	80	R$ 12,00
Grampeador	15	R$ 27,00

Um servidor afirma: "O gasto total da compra é de R$ 1.815,00." Julgue a afirmação.

Passo 1 do roteiro: "cada unidade custa" pede multiplicação. "Gasto total" pede adição.
Passo 2 do roteiro: cada item tem uma quantidade e um preço unitário. Preço unitário é o preço de uma unidade.
Passo 3 do roteiro: crie uma coluna "Gasto do item", com a quantidade vezes o preço unitário. A linha de total soma essa coluna.

Item	Quantidade	Preço unitário	Gasto do item
Caneta	150	R$ 3,00	R$ 450,00
Caderno	80	R$ 12,00	R$ 960,00
Grampeador	15	R$ 27,00	R$ 405,00
Total			R$ 1.815,00

Passo 4 do roteiro: $150 \cdot 3 = 450$ . $80 \cdot 12 = 960$ . $15 \cdot 27 = 405$ . O total é $450 + 960 + 405 = 1.815$ .
Passo 6 do roteiro: a afirmação traz R$ 1.815,00, que é o total certo. Um erro comum seria somar as quantidades (245) e os preços (42) e depois multiplicar: $245 \cdot 42 = 10.290$ . Essa conta mistura os itens e não vale.

Resultado: certo. O gasto total é de R$ 1.815,00.

Uma defensoria recebe 1.250 processos novos. O coordenador divide os processos entre 18 servidores, em partes iguais, com a maior quantidade possível para cada um. Os processos que sobram ficam guardados. O coordenador quer que cada servidor receba um processo a mais. Quantos processos ainda faltam para isso?

A) 8
B) 10
C) 18
D) 69
E) 70

Passo 1 do roteiro: "em partes iguais" pede divisão.
Passo 2 do roteiro: o dividendo é 1.250 e o divisor é 18.
Passo 4 do roteiro: $18 \cdot 69 = 1.242$ e $18 \cdot 70 = 1.260$ . O 1.260 passa de 1.250. Então o quociente é 69.
Passo 5 do roteiro: o resto é $1.250 - 1.242 = 8$ . O resto 8 é menor que 18. Cada servidor recebe 69 processos e sobram 8.
Passo 6 do roteiro: com um processo a mais, cada servidor fica com 70. Isso pede $18 \cdot 70 = 1.260$ processos. Faltam $1.260 - 1.250 = 10$ .

Resultado: alternativa B.

A alternativa mais tentadora é a A, que traz o resto da divisão. O resto diz o que sobra, e a questão pergunta o que falta.

Hoje é segunda-feira. Um servidor tem uma audiência marcada para daqui a 100 dias. Ache o dia da semana da audiência.

Passo 1 do roteiro: a semana se repete a cada 7 dias. É uma divisão por 7, e o resto decide.
Passo 2 do roteiro: o número de dias é 100 e o ciclo tem 7 dias.
Passo 4 do roteiro: $7 \cdot 14 = 98$ . O resto é $100 - 98 = 2$ .
Passo 5 do roteiro: $100 = 7 \cdot 14 + 2$ . O resto 2 é menor que 7. As 14 semanas completas voltam à segunda-feira. Depois, ande 2 dias: terça-feira e quarta-feira.
Passo 6 do roteiro: a questão pede o dia da semana.

Resultado: a audiência cai numa quarta-feira.

O erro comum neste assunto é dar como resposta o resto quando a questão pede o que falta, ou o contrário. Outro erro comum é fazer a conta da esquerda para a direita sem olhar a ordem das operações. Na divisão, o aluno às vezes aceita um resto igual ou maior que o divisor. Escreva sempre $D = d \cdot q + r$ e confira se $r < d$ .

Números inteiros: sinais, módulo e operações

Pense num termômetro numa noite de inverno no sul do país. A temperatura cai abaixo de zero. Você precisa de números para escrever "três graus abaixo de zero". Esse número é $- 3$ . Pense também numa conta bancária. Se você gasta mais do que tem, o saldo fica negativo. Um saldo de $- 200$ quer dizer que você deve R$ 200,00 ao banco.

Os números inteiros juntam os naturais e os negativos. O conjunto dos números inteiros se chama $Z$ :

Z = {\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots}

Todo número natural é também um número inteiro. O contrário não vale: $- 3$ é inteiro, mas não é natural. Por isso, $N$ está dentro de $Z$ .

Os inteiros ficam numa reta. O zero fica no meio. Os positivos ficam à direita e os negativos ficam à esquerda. Quanto mais à direita, maior o número. Por isso, $- 2$ é maior que $- 5$ . Pense no termômetro: dois graus abaixo de zero é menos frio que cinco graus abaixo de zero.

O oposto de um número é o número que fica à mesma distância do zero, do outro lado da reta. O oposto de 4 é $- 4$ . O oposto de $- 7$ é 7. Outro nome para oposto é simétrico. A soma de um número com o seu oposto é sempre zero: $4 + (- 4) = 0$ .

O módulo de um número é a distância dele até o zero. Distância nunca é negativa. Por isso, o módulo de qualquer número é zero ou positivo:

∣5∣ = 5, ∣ - 5∣ = 5, ∣0∣ = 0

Nessa escrita, as barras verticais marcam o módulo. O módulo de $- 5$ é 5, porque $- 5$ fica a 5 passos do zero. A distância entre dois números da reta é o módulo da diferença entre eles: a distância entre $a$ e $b$ é $∣ b - a ∣$ .

Agora as operações. Na adição, pense no saldo da conta. Ganhar é positivo e gastar é negativo.

Sinais iguais: some os módulos e mantenha o sinal. Você deve 5 e passa a dever mais 3: $(- 5) + (- 3) = - 8$ .
Sinais diferentes: subtraia o módulo menor do módulo maior e use o sinal do número de módulo maior. Você deve 8 e deposita 5: $(- 8) + 5 = - 3$ . O módulo maior é o do $- 8$ , por isso o resultado é negativo.

A subtração vira adição com o oposto. Tirar um número é o mesmo que somar o oposto dele:

a - b = a + (- b)

Nessa fórmula, $a$ é o número de onde você tira e $b$ é o número que você tira. Por isso, $3 - (- 4) = 3 + 4 = 7$ . Tirar uma dívida de 4 deixa você 4 reais mais rico.

Na multiplicação e na divisão, a regra olha só os sinais dos dois números:

Primeiro número	Segundo número	Sinal do resultado	Exemplo
positivo	positivo	positivo	$3 \cdot 4 = 12$
negativo	negativo	positivo	$(- 3) \cdot (- 4) = 12$
positivo	negativo	negativo	$3 \cdot (- 4) = - 12$
negativo	positivo	negativo	$(- 12) \div 4 = - 3$

Resumindo: sinais iguais dão resultado positivo, e sinais diferentes dão resultado negativo. Essa regra vale só para multiplicar e dividir. Na adição, a regra é a da conta bancária.

A potência repete a multiplicação. A conta $(- 2)^{3}$ quer dizer $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ . Os dois primeiros dão 4 e $4 \cdot (- 2) = - 8$ . Base negativa com expoente par dá resultado positivo. Base negativa com expoente ímpar dá resultado negativo.

O parêntese muda tudo. Em $(- 3)^{2}$ , o sinal está dentro do parêntese e entra na potência: $(- 3) \cdot (- 3) = 9$ . Em $- 3^{2}$ , não há parêntese. A potência vale só para o 3, e o sinal fica de fora: $- 3^{2} = - (3 \cdot 3) = - 9$ . A banca usa muito essa diferença.

Reconheça o tipo: comparação de números, módulo e distância, conta com sinais ou expressão com potência.
Anote cada número com o seu sinal. Ponha parênteses em volta dos negativos.
Se a questão traz dados em colunas (temperaturas, saldos), monte uma coluna para cada conta e uma linha por item.
Faça as contas na ordem certa: parênteses, potências, multiplicações e divisões, adições e subtrações.
Em cada conta, decida o sinal antes do número: na adição, use a regra do saldo; na multiplicação e na divisão, use a regra dos sinais.
Confira o sinal da resposta e o que a questão pede.

Calcule: (a) $(- 8) + 5$ ; (b) $(- 8) - (- 5)$ ; (c) $(- 4) \cdot (- 6)$ ; (d) $(- 36) \div 4$ .

Passo 2 do roteiro: os negativos já estão entre parênteses.
Passo 5 do roteiro, conta (a): os sinais são diferentes. $8 - 5 = 3$ . O módulo maior é o do $- 8$ . O resultado é $- 3$ .
Passo 5 do roteiro, conta (b): tirar $- 5$ é somar 5. $(- 8) - (- 5) = (- 8) + 5 = - 3$ .
Passo 5 do roteiro, conta (c): os sinais são iguais. $4 \cdot 6 = 24$ . O resultado é positivo: 24.
Passo 5 do roteiro, conta (d): os sinais são diferentes. $36 \div 4 = 9$ . O resultado é negativo: $- 9$ .
Passo 6 do roteiro: confira com a conta bancária. Dever 8 e receber 5 deixa uma dívida de 3. As contas (a) e (b) dão o mesmo número, como esperado.

Resultado: (a) $- 3$ ; (b) $- 3$ ; (c) 24; (d) $- 9$ .

Um instituto de meteorologia registra a temperatura máxima e a temperatura mínima de três cidades num dia de inverno. Os valores, em graus Celsius, estão abaixo. A amplitude térmica é a diferença entre a máxima e a mínima. Ache a cidade com a maior amplitude térmica.

Cidade	Máxima	Mínima
A	7	$- 6$
B	2	$- 9$
C	12	1

Passo 1 do roteiro: a questão pede uma conta com sinais (uma diferença).
Passo 2 do roteiro: as mínimas de A e de B são negativas. Os outros números são positivos.
Passo 3 do roteiro: crie a coluna "Amplitude", com a máxima menos a mínima.

Cidade	Máxima	Mínima	Amplitude
A	7	$- 6$	13
B	2	$- 9$	11
C	12	1	11

Passo 5 do roteiro: cidade A: $7 - (- 6) = 7 + 6 = 13$ . Cidade B: $2 - (- 9) = 2 + 9 = 11$ . Cidade C: $12 - 1 = 11$ .
Passo 6 do roteiro: a cidade C tem a maior máxima, mas não tem a maior amplitude. A maior amplitude é 13 graus.

Resultado: a cidade A tem a maior amplitude térmica, de 13 graus.

Calcule $∣ - 7∣ + ∣3∣ - ∣ - 10∣$ . Depois ache a distância, na reta numérica, entre os pontos $- 4$ e 9.

Passo 1 do roteiro: a questão pede módulo e distância.
Passo 2 do roteiro: os números são $- 7$ , 3 e $- 10$ na primeira conta, e $- 4$ e 9 na segunda.
Passo 4 do roteiro: os módulos vêm antes da soma. $∣ - 7∣ = 7$ , $∣3∣ = 3$ e $∣ - 10∣ = 10$ . A conta fica $7 + 3 - 10 = 0$ .
Passo 5 do roteiro: a distância é $∣9 - (- 4) ∣ = ∣9 + 4∣ = 13$ .
Passo 6 do roteiro: na reta, de $- 4$ até 0 há 4 passos e de 0 até 9 há 9 passos. $4 + 9 = 13$ . A conta confere.

Resultado: a expressão vale 0 e a distância é 13.

Num teste de seleção, um candidato resolve a expressão $E = - 3^{2} + (- 2)^{3} - (- 5) \cdot (- 2)$ . Ele afirma que $E = - 9$ . Julgue a afirmação.

Passo 1 do roteiro: a questão traz uma expressão com potência e sinais.
Passo 2 do roteiro: os termos são $- 3^{2}$ , $(- 2)^{3}$ e $(- 5) \cdot (- 2)$ . O primeiro termo não tem parêntese.
Passo 4 do roteiro, potências: $- 3^{2} = - (3 \cdot 3) = - 9$ . $(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 4 \cdot (- 2) = - 8$ .
Passo 4 do roteiro, multiplicação: $(- 5) \cdot (- 2) = 10$ , porque os sinais são iguais.
Passo 5 do roteiro, adições e subtrações: $E = - 9 + (- 8) - 10$ . Primeiro, $- 9 + (- 8) = - 17$ . Depois, $- 17 - 10 = - 27$ .
Passo 6 do roteiro: o candidato achou $- 9$ porque leu $- 3^{2}$ como $(- 3)^{2} = 9$ . Com esse erro, a conta seria $9 - 8 - 10 = - 9$ .

Resultado: errado. A expressão vale $- 27$ , porque $- 3^{2}$ é $- 9$ , e não 9.

Uma associação de servidores tem conta num banco. No dia 1º, o saldo é negativo, de R$ 350,00. Os movimentos do mês estão no quadro abaixo. Ache o saldo no fim do dia 20.

Dia	Movimento	Valor
5	depósito	R$ 1.200,00
10	pagamento	R$ 480,00
15	pagamento	R$ 650,00
20	depósito	R$ 300,00

A) saldo negativo de R$ 720,00
B) saldo negativo de R$ 20,00
C) saldo de R$ 20,00
D) saldo de R$ 720,00
E) saldo de R$ 2.980,00

Passo 1 do roteiro: é uma conta com sinais. Depósito é positivo e pagamento é negativo.
Passo 2 do roteiro: o saldo inicial é $- 350$ . Os depósitos são $+ 1.200$ e $+ 300$ . Os pagamentos são $- 480$ e $- 650$ .
Passo 3 do roteiro: crie a coluna "Valor com sinal" e a coluna "Saldo no fim do dia". Cada saldo parte do saldo da linha de cima.

Dia	Valor com sinal	Saldo no fim do dia
1		$- 350$
5	$+ 1.200$	850
10	$- 480$	370
15	$- 650$	$- 280$
20	$+ 300$	20

Passo 5 do roteiro: dia 5: $- 350 + 1.200 = 850$ . Dia 10: $850 - 480 = 370$ . Dia 15: $370 - 650 = - 280$ . Dia 20: $- 280 + 300 = 20$ .
Passo 6 do roteiro: o saldo final é positivo, de R$ 20,00. Confira pelos totais: depósitos $1.200 + 300 = 1.500$ e pagamentos $480 + 650 = 1.130$ . Então $- 350 + 1.500 - 1.130 = 20$ .

Resultado: alternativa C.

A alternativa mais tentadora é a D. Ela aparece quando o aluno trata o saldo inicial de R$ 350,00 como positivo: $350 + 1.200 - 480 - 650 + 300 = 720$ .

O erro comum neste assunto é ler $- 3^{2}$ como $(- 3)^{2}$ . Outro erro comum é usar a regra "sinais iguais dão positivo" na adição, e achar que $(- 5) + (- 3)$ dá 8. Também derruba o aluno achar que $- 5$ é maior que $- 2$ . Para evitar esses erros, ponha parênteses em volta de cada negativo e pense na conta bancária ou no termômetro.

Números naturais e inteiros
- Números naturais
  - Começam no zero; o zero não tem antecessor
  - Valor absoluto e valor relativo
  - Contagem de números e de algarismos
  - Números consecutivos, pares e ímpares
- Quatro operações
  - Propriedades: comutativa, associativa, distributiva
  - Divisão: dividendo, divisor, quociente e resto
  - Ciclos pelo resto da divisão
  - Ordem das operações
- Números inteiros
  - Reta numérica, oposto e módulo
  - Adição pela regra do saldo
  - Multiplicação e divisão pela regra dos sinais
  - Potência de base negativa e parênteses

Quadros e comparações

Situação	Ferramenta	Exemplo
Quantos números de $a$ até $b$	$b - a + 1$	de 15 até 40 há 26 números
Quantos algarismos numa lista	separar em faixas de 1, 2 e 3 algarismos	de 1 a 250 há 642 algarismos
Três números consecutivos	$n$ , $n + 1$ , $n + 2$	soma 222 dá 73, 74 e 75
Divisão em partes iguais	$D = d \cdot q + r$	1.250 por 18 dá 69 e sobram 8
Dia da semana daqui a muitos dias	resto da divisão por 7	100 dias andam 2 dias
Saldo, temperatura, altitude	números inteiros	dever 350 é $- 350$

Operação com inteiros	Regra	Exemplo
Adição com sinais iguais	soma os módulos e mantém o sinal	$(- 5) + (- 3) = - 8$
Adição com sinais diferentes	subtrai os módulos e usa o sinal do maior	$(- 8) + 5 = - 3$
Subtração	soma o oposto	$3 - (- 4) = 7$
Multiplicação e divisão	sinais iguais: positivo; diferentes: negativo	$(- 4) \cdot (- 6) = 24$
Potência de base negativa	expoente par: positivo; ímpar: negativo	$(- 2)^{3} = - 8$
Sinal fora do parêntese	a potência não pega o sinal	$- 3^{2} = - 9$

Para decorar

Naturais: $N = {0, 1, 2, \dots}$ e $N^{*} = {1, 2, 3, \dots}$ .
Inteiros: $Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$ .
Quantidade de números de $a$ até $b$ : $b - a + 1$ .
Divisão: $D = d \cdot q + r$ , com $0 \leq r < d$ . O maior resto é $d - 1$ .
Distributiva: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .
Subtração de inteiros: $a - b = a + (- b)$ .
Módulo: $∣ - 5∣ = ∣5∣ = 5$ . Distância entre $a$ e $b$ : $∣ b - a ∣$ .
Sinais: iguais dão positivo; diferentes dão negativo (só na multiplicação e na divisão).
Potência: $(- 3)^{2} = 9$ , mas $- 3^{2} = - 9$ .
Algarismos: 9 números de 1 algarismo, 90 de 2 algarismos e 900 de 3 algarismos.

Pegadinhas

#	Errado	Certo
1	De 15 até 40 há 25 números.	De 15 até 40 há $40 - 15 + 1 = 26$ números.
2	O zero não é número natural.	O zero é natural. Só o $N^{*}$ não tem o zero.
3	O valor relativo do 7 em 47.352 é 7.	O valor relativo é 7.000. O valor absoluto é 7.
4	Numa divisão por 15, o resto pode ser 15.	O resto é menor que o divisor. O maior resto é 14.
5	$20 - 4 \cdot 3 = 48$ .	A multiplicação vem antes: $20 - 12 = 8$ .
6	$- 3^{2} = 9$ .	Sem parêntese, $- 3^{2} = - 9$ . Só $(- 3)^{2} = 9$ .
7	$(- 5) + (- 3) = 8$ , porque sinais iguais dão positivo.	Na adição, $(- 5) + (- 3) = - 8$ .
8	$- 5$ é maior que $- 2$ .	$- 2$ é maior, porque fica mais à direita na reta.

Fontes e data

Este guia não usa norma. As regras são da aritmética básica. Todas as contas dos exemplos foram conferidas em 13/10/2026.

Matemática Básica: Números Naturais e Inteiros