Regime de Juros e Descontos Simples: resumo para concursos

Do que trata o tópico

Este tópico trata do regime de juros simples e dos descontos simples. No desconto simples, uma dívida é paga antes do vencimento e fica mais barata. A banca usa esses assuntos em questões de aplicação, de empréstimo e de título pago antes do prazo.

Conteúdo

Juros simples

Pense numa situação pequena. Você empresta R$ 100,00 a um amigo. Ele promete pagar R$ 2,00 por mês pelo uso do dinheiro. Depois de 1 mês, ele deve R$ 102,00. Depois de 5 meses, ele deve R$ 110,00. O valor de cada mês é sempre R$ 2,00, porque ele é calculado sobre os mesmos R$ 100,00. Esse é o regime de juros simples.

O capital é o valor emprestado ou aplicado no início. A taxa de juros é o percentual que o capital rende em cada período. O prazo é o número de períodos. Os juros são o valor que o dinheiro rende. O montante é o capital mais os juros, isto é, o valor no fim do prazo.

Nos juros simples, os juros de cada período são iguais. Por isso, os juros do prazo todo são os juros de um período vezes o número de períodos:

J = C \cdot i \cdot n

Nessa fórmula, $J$ são os juros, $C$ é o capital, $i$ é a taxa por período, escrita como número decimal, e $n$ é o número de períodos. A taxa de 2% vira $0, 02$ .

O montante soma o capital e os juros:

M = C + J = C \cdot (1 + i \cdot n)

Nessa fórmula, $M$ é o montante, e as outras letras têm o mesmo significado de antes. A regra só funciona se a taxa e o prazo estão na mesma unidade de tempo. Se a taxa é mensal, o prazo precisa estar em meses. Se a taxa é anual e o prazo está em meses, divida a taxa anual por 12. A banca cobra muito essa conversão.

Para achar a taxa, divida os juros por $C \cdot n$ . Para achar o prazo, divida os juros por $C \cdot i$ .

Reconheça o tipo: a questão fala em juros simples, juros lineares ou "juros calculados sobre o capital inicial".
Ache no enunciado o capital, a taxa, o prazo, os juros ou o montante. Anote o que falta.
Confira se a taxa e o prazo estão na mesma unidade. Se não estão, converta a taxa para a unidade do prazo. Escreva a taxa como número decimal.
Use $J = C \cdot i \cdot n$ para achar o dado que falta. Se a questão dá o montante, calcule antes $J = M - C$ .
Confira o que a questão pede (juros, montante, taxa ou prazo) e a unidade da resposta.

Calcule os juros e o montante de um capital de R$ 2.000,00 aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 5 meses.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em juros simples.
Passo 2 do roteiro: o capital é R$ 2.000,00, a taxa é 3% ao mês e o prazo é de 5 meses.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal e o prazo está em meses. Não há conversão. A taxa de 3% vira $0, 03$ .
Passo 4 do roteiro: $2.000 \cdot 0, 03 = 60$ . Esse valor é o juro de um mês. Depois, $60 \cdot 5 = 300$ . O montante é $2.000 + 300 = 2.300$ .
Passo 5 do roteiro: a questão pede os juros e o montante, em reais.

Resultado: os juros são de R$ 300,00 e o montante é de R$ 2.300,00.

Uma pessoa aplica R$ 4.800,00 a juros simples de 18% ao ano. Ela resgata o dinheiro depois de 8 meses. Calcule os juros que ela recebe.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em juros simples.
Passo 2 do roteiro: o capital é R$ 4.800,00, a taxa é 18% ao ano e o prazo é de 8 meses.
Passo 3 do roteiro: a taxa é anual, mas o prazo está em meses. A taxa mensal é $18% \div 12 = 1, 5%$ . A taxa de 1,5% vira $0, 015$ .
Passo 4 do roteiro: $4.800 \cdot 0, 015 = 72$ . Esse é o juro de um mês. Depois, $72 \cdot 8 = 576$ .
Passo 5 do roteiro: a questão pede os juros, em reais.

Resultado: os juros são de R$ 576,00.

Um servidor recebe R$ 6.000,00 de uma indenização. Ele aplica o valor num fundo que paga juros simples de 2% ao mês. Ele deixa o dinheiro aplicado durante 1 ano e 3 meses, sem resgate. Julgue a afirmação: "No fim do prazo, o montante do servidor passa de R$ 7.700,00".

Passo 1 do roteiro: a questão fala em juros simples.
Passo 2 do roteiro: o capital é R$ 6.000,00, a taxa é 2% ao mês e o prazo é de 1 ano e 3 meses.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal. O prazo precisa ir para meses: $12 + 3 = 15$ meses. Aqui está a pegadinha: quem usa $n = 1, 3$ ou $n = 13$ erra a conta. A taxa de 2% vira $0, 02$ .
Passo 4 do roteiro: $6.000 \cdot 0, 02 = 120$ por mês. Depois, $120 \cdot 15 = 1.800$ . O montante é $6.000 + 1.800 = 7.800$ .
Passo 5 do roteiro: R$ 7.800,00 passa de R$ 7.700,00.

Resultado: certo. O montante é de R$ 7.800,00, porque o prazo correto é de 15 meses.

Uma empresa aplicou R$ 12.500,00 a juros simples. Depois de 10 meses, ela resgatou R$ 14.000,00. Qual é a taxa mensal da aplicação?

A) 0,12% ao mês
B) 1,12% ao mês
C) 1,2% ao mês
D) 12% ao mês
E) 14,4% ao mês

Passo 1 do roteiro: a questão fala em juros simples.
Passo 2 do roteiro: o capital é R$ 12.500,00, o montante é R$ 14.000,00 e o prazo é de 10 meses. Falta a taxa.
Passo 3 do roteiro: o prazo está em meses e a questão pede a taxa mensal. A taxa vai sair como número decimal. No fim, ela vira percentual.
Passo 4 do roteiro: os juros são $14.000 - 12.500 = 1.500$ . Depois, $C \cdot n = 12.500 \cdot 10 = 125.000$ . A taxa é $1.500 \div 125.000 = 0, 012$ .
Passo 5 do roteiro: $0, 012$ é 1,2% ao mês.

Resultado: alternativa C. A armadilha mais tentadora é a B: $14.000 \div 12.500 = 1, 12$ , mas esse número é o fator do prazo todo, não a taxa de um mês.

O erro comum neste assunto é usar a taxa anual com o prazo em meses. Antes de qualquer conta, ponha a taxa e o prazo na mesma unidade. Outro erro é responder o montante quando a questão pede os juros.

Juros exatos, bancários e comerciais

Quando o prazo está em dias, o ano pode ter 360 ou 365 dias. A escolha muda o valor dos juros.

Os juros comerciais usam o ano comercial. O ano comercial tem 360 dias, e cada mês tem 30 dias. Os juros exatos usam o ano civil. O ano civil tem 365 dias, ou 366 dias no ano bissexto. Nos juros exatos, os dias do prazo são contados pelo calendário. Os juros bancários, também chamados de regra dos banqueiros, misturam os dois modos. Eles contam os dias do prazo pelo calendário e dividem por 360.

Com a taxa anual $i$ e o prazo de $d$ dias, as fórmulas são:

J_{comercial} = C \cdot i \cdot \frac{d}{360} J_{exato} = C \cdot i \cdot \frac{d}{365}

Nessas fórmulas, $C$ é o capital, $i$ é a taxa anual em número decimal e $d$ é o número de dias.

Como contar os dias pelo calendário? Não conte o dia da aplicação e conte o dia do resgate. De 10 de março a 24 de maio, por exemplo, são 21 dias de março (de 11 a 31), 30 dias de abril e 24 dias de maio. O total é $21 + 30 + 24 = 75$ dias.

Com os mesmos dias, dividir por 360 dá juros maiores que dividir por 365. Por isso, os juros exatos são os menores.

Modo	Dias do prazo	Dias do ano
Juros comerciais	meses de 30 dias	360
Juros exatos	calendário	365 (366 no bissexto)
Juros bancários	calendário	360

Reconheça o tipo: o prazo está em dias ou em datas, e a questão fala em juros exatos, comerciais, bancários ou "ano civil".
Conte os dias do prazo. Use o calendário nos juros exatos e nos bancários. Use meses de 30 dias nos juros comerciais.
Escolha o divisor: 360 nos juros comerciais e bancários, 365 nos juros exatos.
Escreva a taxa anual como número decimal. Calcule $C \cdot i \cdot d$ e divida pelo divisor do passo 3.
Confira: com os mesmos dias, os juros exatos são os menores.

Um capital de R$ 10.000,00 fica aplicado a 36% ao ano durante 30 dias. Calcule os juros comerciais e os juros exatos, com duas casas decimais.

Passo 1 do roteiro: o prazo está em dias, e a questão pede os dois modos.
Passo 2 do roteiro: o prazo é de 30 dias nos dois modos.
Passo 3 do roteiro: o divisor é 360 nos juros comerciais e 365 nos juros exatos.
Passo 4 do roteiro: a taxa de 36% vira $0, 36$ . $10.000 \cdot 0, 36 \cdot 30 = 108.000$ . Nos juros comerciais, $108.000 \div 360 = 300$ . Nos juros exatos, $108.000 \div 365 = 295, 89$ .
Passo 5 do roteiro: os juros exatos são os menores.

Resultado: R$ 300,00 de juros comerciais e R$ 295,89 de juros exatos.

Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 em 10 de março, a 24% ao ano. Ela resgata o dinheiro em 24 de maio do mesmo ano. Calcule os juros pela regra dos banqueiros.

Passo 1 do roteiro: a questão dá datas e pede a regra dos banqueiros.
Passo 2 do roteiro: os dias vêm do calendário. Março dá 21 dias (de 11 a 31), abril dá 30 dias e maio dá 24 dias. O total é $21 + 30 + 24 = 75$ dias.
Passo 3 do roteiro: na regra dos banqueiros, o divisor é 360.
Passo 4 do roteiro: a taxa de 24% vira $0, 24$ . $18.000 \cdot 0, 24 = 4.320$ . Depois, $4.320 \cdot 75 = 324.000$ . Por fim, $324.000 \div 360 = 900$ .
Passo 5 do roteiro: com 365 no divisor, o valor seria R$ 887,67, que é menor. A conta está coerente.

Resultado: os juros bancários são de R$ 900,00.

Uma autarquia toma R$ 73.000,00 emprestados em 15 de janeiro de 2026, a juros simples de 18% ao ano. Ela quita a dívida em 29 de março de 2026. O contrato manda calcular juros exatos. O ano de 2026 não é bissexto. Julgue a afirmação: "Os juros exatos do empréstimo ficam abaixo de R$ 2.600,00".

Passo 1 do roteiro: a questão dá datas e pede juros exatos.
Passo 2 do roteiro: janeiro dá 16 dias (de 16 a 31), fevereiro dá 28 dias e março dá 29 dias. O total é $16 + 28 + 29 = 73$ dias.
Passo 3 do roteiro: nos juros exatos, o divisor é 365.
Passo 4 do roteiro: a taxa de 18% vira $0, 18$ . $73.000 \cdot 0, 18 = 13.140$ . Depois, $13.140 \cdot 73 = 959.220$ . Por fim, $959.220 \div 365 = 2.628$ .
Passo 5 do roteiro: R$ 2.628,00 não fica abaixo de R$ 2.600,00.

Resultado: errado. Os juros exatos são de R$ 2.628,00. A pegadinha está em contar fevereiro com 30 dias, que é a regra dos juros comerciais.

Um banco empresta R$ 14.600,00 em 2 de maio, a 36% ao ano, e recebe o valor em 1º de agosto do mesmo ano. O banco usa a regra dos banqueiros. Quais são os juros cobrados?

A) R$ 1.296,00
B) R$ 1.310,40
C) R$ 1.314,00
D) R$ 1.328,60
E) R$ 1.343,20

Passo 1 do roteiro: a questão dá datas e pede a regra dos banqueiros.
Passo 2 do roteiro: maio dá 29 dias (de 3 a 31), junho dá 30 dias, julho dá 31 dias e agosto dá 1 dia. O total é $29 + 30 + 31 + 1 = 91$ dias.
Passo 3 do roteiro: na regra dos banqueiros, o divisor é 360.
Passo 4 do roteiro: a taxa de 36% vira $0, 36$ . $14.600 \cdot 0, 36 = 5.256$ . Depois, $5.256 \cdot 91 = 478.296$ . Por fim, $478.296 \div 360 = 1.328, 60$ .
Passo 5 do roteiro: o valor é maior que o dos juros exatos (R$ 1.310,40).

Resultado: alternativa D. A armadilha mais tentadora é a C: ela usa 3 meses de 30 dias (90 dias), que é a regra dos juros comerciais, e não os 91 dias do calendário.

O erro comum neste assunto é trocar os divisores: 365 só nos juros exatos, 360 nos outros dois. Outro erro é contar o dia da aplicação e o dia do resgate, o que soma um dia a mais. Conte só o dia do resgate.

Taxas proporcionais e equivalentes no regime simples

Volte à situação do amigo. Ele paga R$ 2,00 por mês sobre R$ 100,00. Em 12 meses, ele paga $2 \cdot 12 = 24$ reais. Então dizer "2% ao mês" ou "24% ao ano" dá o mesmo resultado no fim de um ano.

Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os períodos. A taxa de 2% ao mês e a de 24% ao ano são proporcionais, porque 24 é 12 vezes 2 e um ano tem 12 meses. Duas taxas são equivalentes quando levam o mesmo capital ao mesmo montante no mesmo prazo. Nos juros simples, taxas proporcionais são também equivalentes, porque os juros crescem sempre do mesmo valor.

A regra é uma proporção:

\frac{i _{1}}{n _{1}} = \frac{i _{2}}{n _{2}}

Nessa fórmula, $i_{1}$ é a taxa do período $n_{1}$ , e $i_{2}$ é a taxa do período $n_{2}$ . Os dois períodos usam a mesma unidade. Na prática, basta dividir ou multiplicar. De taxa anual para mensal, divida por 12. De mensal para trimestral, multiplique por 3. De anual para diária no ano comercial, divida por 360.

Reconheça o tipo: a questão dá uma taxa num período e pede a taxa noutro período, em juros simples.
Anote a taxa dada, o período dela e o período pedido.
Escreva os dois períodos na mesma unidade (dias, meses ou anos).
Divida a taxa pelo período dado para achar a taxa de uma unidade. Multiplique pela quantidade de unidades do período pedido.
Confira: o período mais longo tem a taxa maior.

Calcule a taxa anual e a taxa trimestral proporcionais a 2% ao mês, em juros simples.

Passo 1 do roteiro: a questão dá uma taxa mensal e pede outras taxas, em juros simples.
Passo 2 do roteiro: a taxa é 2% ao mês. Os períodos pedidos são o ano e o trimestre.
Passo 3 do roteiro: um ano tem 12 meses. Um trimestre tem 3 meses.
Passo 4 do roteiro: a taxa de um mês já é 2%. $2% \cdot 12 = 24%$ ao ano. $2% \cdot 3 = 6%$ ao trimestre.
Passo 5 do roteiro: o ano tem a taxa maior.

Resultado: 24% ao ano e 6% ao trimestre.

Um título rende juros simples de 30% ao ano, no ano comercial. O dono do título fica com ele por 45 dias. Calcule a taxa do período de 45 dias.

Passo 1 do roteiro: a questão dá uma taxa anual e pede a taxa de 45 dias.
Passo 2 do roteiro: a taxa é 30% ao ano. O período pedido é de 45 dias.
Passo 3 do roteiro: no ano comercial, um ano tem 360 dias.
Passo 4 do roteiro: a taxa de um dia é $30% \div 360$ . $30% \cdot 45 \div 360 = 1.350% \div 360 = 3, 75%$ .
Passo 5 do roteiro: 45 dias são menos que um ano, e 3,75% é menor que 30%.

Resultado: a taxa do período é de 3,75%.

Um analista de um tribunal compara duas aplicações em juros simples. A aplicação X paga 1,5% ao mês. A aplicação Y paga 18% ao ano. Ele escreve no relatório: "A taxa semestral equivalente às duas aplicações é de 9,5%". Julgue a frase do relatório.

Passo 1 do roteiro: a questão compara taxas de períodos diferentes, em juros simples.
Passo 2 do roteiro: X paga 1,5% ao mês. Y paga 18% ao ano. O período pedido é o semestre.
Passo 3 do roteiro: um ano tem 12 meses. Um semestre tem 6 meses.
Passo 4 do roteiro: Y paga $18% \div 12 = 1, 5%$ ao mês. X e Y são de fato equivalentes. $1, 5% \cdot 6 = 9%$ ao semestre.
Passo 5 do roteiro: a taxa semestral é 9%, e não 9,5%.

Resultado: errado. A conclusão sobre X e Y está certa, mas a taxa semestral é de 9%. A banca mistura uma parte certa com um número errado.

Uma empresa aplica um valor a juros simples de 42% ao ano durante 5 meses. Qual é a taxa de juros do período inteiro da aplicação?

A) 3,5%
B) 8,4%
C) 17,5%
D) 21%
E) 210%

Passo 1 do roteiro: a questão dá uma taxa anual e pede a taxa de 5 meses.
Passo 2 do roteiro: a taxa é 42% ao ano. O período pedido é de 5 meses.
Passo 3 do roteiro: um ano tem 12 meses.
Passo 4 do roteiro: a taxa de um mês é $42% \div 12 = 3, 5%$ . $3, 5% \cdot 5 = 17, 5%$ .
Passo 5 do roteiro: 5 meses são menos que um ano, e 17,5% é menor que 42%.

Resultado: alternativa C. A armadilha mais tentadora é a A: 3,5% é a taxa de um mês, e a questão pede a taxa dos 5 meses.

O erro comum neste assunto é levar a regra dos juros compostos para os juros simples. Nos juros simples, a conversão é só divisão ou multiplicação. Outro erro é parar na taxa de um mês quando a questão pede a taxa do período inteiro.

Capital médio, taxa média e prazo médio

Imagine uma família com três aplicações, cada uma com capital, taxa e prazo diferentes. A família quer trocar as três por uma só, sem mudar o total de juros.

O total de juros é a soma de $C \cdot i \cdot n$ de cada aplicação. A taxa média é a taxa única que, com os capitais e prazos originais, dá os mesmos juros. O prazo médio é o prazo único que, com os capitais e taxas originais, dá os mesmos juros. O capital médio é o capital único que, com as taxas e prazos originais, dá os mesmos juros.

taxa m e ˊ dia = \frac{\sum C \cdot i \cdot n}{\sum C \cdot n} prazo m e ˊ dio = \frac{\sum C \cdot i \cdot n}{\sum C \cdot i} capital m e ˊ dio = \frac{\sum C \cdot i \cdot n}{\sum i \cdot n}

Nessas fórmulas, o símbolo $\sum$ quer dizer "some todas as aplicações". $C$ é o capital, $i$ é a taxa e $n$ é o prazo de cada aplicação. O numerador é sempre o total de juros. O denominador é o produto que sobra quando se tira a letra procurada.

Monte uma tabela auxiliar: uma linha por aplicação, uma coluna por produto e uma linha de Total.

Aplicação	$C$	$i$	$n$	$C \cdot i \cdot n$	$C \cdot n$	$C \cdot i$	$i \cdot n$
1	...	...	...	...	...	...	...
2	...	...	...	...	...	...	...
Total				soma	soma	soma	soma

Reconheça o tipo: a questão dá várias aplicações e pede uma taxa, um prazo ou um capital único que dê os mesmos juros.
Confira se as taxas e os prazos estão na mesma unidade em todas as aplicações.
Monte a tabela auxiliar com as colunas que a fórmula pede: sempre $C \cdot i \cdot n$ e a coluna do denominador.
Some cada coluna na linha de Total. Divida o total de $C \cdot i \cdot n$ pelo total da coluna do denominador.
Confira: a média fica entre o menor e o maior valor das aplicações.

Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 a 2% ao mês por 4 meses e R$ 3.000,00 a 4% ao mês por 4 meses, em juros simples. Calcule a taxa média.

Passo 1 do roteiro: a questão dá duas aplicações e pede a taxa média.
Passo 2 do roteiro: as taxas são mensais e os prazos estão em meses.
Passo 3 do roteiro: as colunas são $C \cdot i \cdot n$ e $C \cdot n$ . Na primeira aplicação, $1.000 \cdot 0, 02 \cdot 4 = 80$ e $1.000 \cdot 4 = 4.000$ . Na segunda, $3.000 \cdot 0, 04 \cdot 4 = 480$ e $3.000 \cdot 4 = 12.000$ .
Passo 4 do roteiro: $80 + 480 = 560$ e $4.000 + 12.000 = 16.000$ . $560 \div 16.000 = 0, 035$ , isto é, 3,5% ao mês.
Passo 5 do roteiro: 3,5% fica entre 2% e 4%. O valor fica mais perto de 4%, porque o capital de 4% é maior.

Resultado: a taxa média é de 3,5% ao mês.

Uma família tem três aplicações em juros simples. Calcule o prazo médio, com os dados da tabela.

Aplicação	Capital	Taxa mensal	Prazo
1	R$ 2.000,00	3%	2 meses
2	R$ 4.000,00	2%	4 meses
3	R$ 1.000,00	6%	5 meses

Passo 1 do roteiro: a questão pede o prazo médio.
Passo 2 do roteiro: as taxas são mensais e os prazos estão em meses.
Passo 3 do roteiro: o prazo médio pede as colunas $C \cdot i$ e $C \cdot i \cdot n$ . A coluna $C \cdot i$ é o juro de um mês de cada aplicação.

Aplicação	$C \cdot i$	$C \cdot i \cdot n$
1	$2.000 \cdot 0, 03 = 60$	$60 \cdot 2 = 120$
2	$4.000 \cdot 0, 02 = 80$	$80 \cdot 4 = 320$
3	$1.000 \cdot 0, 06 = 60$	$60 \cdot 5 = 300$
Total	200	740

Passo 4 do roteiro: os totais são 200 e 740. $740 \div 200 = 3, 7$ meses.
Passo 5 do roteiro: 3,7 meses fica entre 2 e 5 meses.

Resultado: o prazo médio é de 3,7 meses.

Uma prefeitura aplicou três valores em juros simples, conforme a tabela. Um técnico afirma: "O capital médio das três aplicações é igual à média aritmética dos três capitais". Julgue a afirmação.

Aplicação	Capital	Taxa mensal	Prazo
1	R$ 5.000,00	2%	3 meses
2	R$ 8.000,00	1,5%	4 meses
3	R$ 6.000,00	2%	4 meses

Passo 1 do roteiro: a questão pede o capital médio.
Passo 2 do roteiro: as taxas são mensais e os prazos estão em meses.
Passo 3 do roteiro: o capital médio pede as colunas $i \cdot n$ e $C \cdot i \cdot n$ .

Aplicação	$i \cdot n$	$C \cdot i \cdot n$
1	$0, 02 \cdot 3 = 0, 06$	$5.000 \cdot 0, 06 = 300$
2	$0, 015 \cdot 4 = 0, 06$	$8.000 \cdot 0, 06 = 480$
3	$0, 02 \cdot 4 = 0, 08$	$6.000 \cdot 0, 08 = 480$
Total	0,20	1.260

Passo 4 do roteiro: os totais são 0,20 e 1.260. O capital médio é $1.260 \div 0, 20 = 6.300$ . A média aritmética é $(5.000 + 8.000 + 6.000) \div 3 = 19.000 \div 3 \approx 6.333, 33$ .
Passo 5 do roteiro: R$ 6.300,00 é diferente de R$ 6.333,33.

Resultado: errado. O capital médio é de R$ 6.300,00. Ele pesa cada capital por $i \cdot n$ , e a média aritmética não faz isso.

Um órgão público fez três aplicações em juros simples, conforme a tabela. Qual é a taxa média mensal das aplicações?

Aplicação	Capital	Taxa mensal	Prazo
1	R$ 10.000,00	1%	6 meses
2	R$ 20.000,00	1,5%	6 meses
3	R$ 10.000,00	2,5%	3 meses

A) 1,25%
B) 1,50%
C) 1,67%
D) 1,75%
E) 2,00%

Passo 1 do roteiro: a questão pede a taxa média.
Passo 2 do roteiro: as taxas são mensais e os prazos estão em meses.
Passo 3 do roteiro: a taxa média pede as colunas $C \cdot n$ e $C \cdot i \cdot n$ .

Aplicação	$C \cdot n$	$C \cdot i \cdot n$
1	$10.000 \cdot 6 = 60.000$	$60.000 \cdot 0, 01 = 600$
2	$20.000 \cdot 6 = 120.000$	$120.000 \cdot 0, 015 = 1.800$
3	$10.000 \cdot 3 = 30.000$	$30.000 \cdot 0, 025 = 750$
Total	210.000	3.150

Passo 4 do roteiro: os totais são 210.000 e 3.150. $3.150 \div 210.000 = 0, 015$ , isto é, 1,5% ao mês.
Passo 5 do roteiro: 1,5% fica entre 1% e 2,5%.

Resultado: alternativa B. A armadilha mais tentadora é a C: $(1 + 1, 5 + 2, 5) \div 3 \approx 1, 67%$ é a média simples das taxas, sem o peso dos capitais e dos prazos.

O erro comum neste assunto é fazer a média simples das taxas, dos prazos ou dos capitais. As três médias são ponderadas. Outro erro é trocar o denominador: tire da conta $C \cdot i \cdot n$ a letra que a questão pede, e o que sobra é o denominador.

Desconto racional simples

Uma loja tem uma nota que vale R$ 1.100,00 daqui a 2 meses. Quanto vale essa nota hoje? Se o dinheiro rende 5% ao mês em juros simples, R$ 1.000,00 hoje viram R$ 1.100,00 em 2 meses. Então a nota vale R$ 1.000,00 hoje. A diferença de R$ 100,00 é o desconto.

O título é o papel que promete um pagamento numa data futura, como uma duplicata ou uma nota promissória. O valor nominal é o valor escrito no título, que vale na data do vencimento. O valor atual é o valor que o título vale hoje, antes do vencimento. O desconto é o valor nominal menos o valor atual.

Hoje (data 0)valor atual A = R$ 1.000,00
Mês 1o valor atual rende juros simples de 5% ao mês
Mês 2 (vencimento)valor nominal N = R$ 1.100,00

Linha do tempo

No desconto racional simples, também chamado de desconto por dentro, a taxa incide sobre o valor atual. É o mesmo raciocínio dos juros simples, só que no sentido contrário. O valor nominal faz o papel do montante, e o valor atual faz o papel do capital:

N = A \cdot (1 + i \cdot n) A = \frac{N}{1 + i \cdot n} D_{r} = A \cdot i \cdot n

Nessas fórmulas, $N$ é o valor nominal, $A$ é o valor atual, $i$ é a taxa por período, $n$ é o número de períodos que faltam até o vencimento e $D_{r}$ é o desconto racional. O desconto também é $D_{r} = N - A$ .

Reconheça o tipo: a questão fala em desconto racional, desconto por dentro, ou diz que a taxa incide sobre o valor atual.
Ache o valor nominal, a taxa e o prazo que falta até o vencimento.
Ponha a taxa e o prazo na mesma unidade. Calcule $1 + i \cdot n$ .
Divida o valor nominal por $1 + i \cdot n$ para achar o valor atual. O desconto é o nominal menos o atual.
Confira: o desconto é igual a $A \cdot i \cdot n$ , e o valor atual é menor que o nominal.

Um título de R$ 1.100,00 vence em 2 meses. Ele é descontado com desconto racional simples de 5% ao mês. Calcule o valor atual e o desconto.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto racional.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 1.100,00, a taxa é 5% ao mês e o prazo é de 2 meses.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal e o prazo está em meses. $0, 05 \cdot 2 = 0, 10$ . Depois, $1 + 0, 10 = 1, 10$ .
Passo 4 do roteiro: $1.100 \div 1, 10 = 1.000$ . O desconto é $1.100 - 1.000 = 100$ .
Passo 5 do roteiro: $1.000 \cdot 0, 10 = 100$ . As duas contas batem.

Resultado: o valor atual é R$ 1.000,00 e o desconto é R$ 100,00.

Uma loja tem uma duplicata de R$ 5.300,00 que vence em 3 meses. Ela antecipa o recebimento com desconto racional simples de 24% ao ano. Calcule o valor que a loja recebe.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto racional.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 5.300,00, a taxa é 24% ao ano e o prazo é de 3 meses.
Passo 3 do roteiro: a taxa mensal é $24% \div 12 = 2%$ . $0, 02 \cdot 3 = 0, 06$ . Depois, $1 + 0, 06 = 1, 06$ .
Passo 4 do roteiro: $5.300 \div 1, 06 = 5.000$ .
Passo 5 do roteiro: o desconto é $5.300 - 5.000 = 300$ , e $5.000 \cdot 0, 06 = 300$ .

Resultado: a loja recebe R$ 5.000,00.

Uma fornecedora de um órgão público tem uma duplicata de R$ 12.000,00. Faltam 80 dias para o vencimento. Ela desconta o título com desconto racional simples de 2,5% ao mês. Use o mês comercial de 30 dias. Julgue a afirmação: "O desconto concedido é de R$ 800,00".

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto racional.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 12.000,00, a taxa é 2,5% ao mês e o prazo é de 80 dias.
Passo 3 do roteiro: o prazo em meses é $80 \div 30 = \frac{8}{3}$ meses. $0, 025 \cdot \frac{8}{3} = \frac{0 , 2}{3} \approx 0, 0667$ . Depois, $1 + \frac{0 , 2}{3} = \frac{3 , 2}{3}$ .
Passo 4 do roteiro: $A = 12.000 \div \frac{3 , 2}{3} = 12.000 \cdot 3 \div 3, 2 = 36.000 \div 3, 2 = 11.250$ . O desconto é $12.000 - 11.250 = 750$ .
Passo 5 do roteiro: $11.250 \cdot \frac{0 , 2}{3} = 750$ . As duas contas batem.

Resultado: errado. O desconto racional é de R$ 750,00. O valor de R$ 800,00 sai de $12.000 \cdot \frac{0 , 2}{3}$ , com a taxa aplicada sobre o valor nominal, que é a regra do desconto comercial.

Um título foi pago 6 meses antes do vencimento, com desconto racional simples de 3% ao mês. O desconto foi de R$ 360,00. Qual era o valor nominal do título?

A) R$ 1.640,00
B) R$ 2.000,00
C) R$ 2.160,00
D) R$ 2.360,00
E) R$ 2.480,00

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto racional.
Passo 2 do roteiro: o desconto é R$ 360,00, a taxa é 3% ao mês e o prazo é de 6 meses. Falta o valor nominal.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal e o prazo está em meses. $i \cdot n = 0, 03 \cdot 6 = 0, 18$ .
Passo 4 do roteiro: no desconto racional, $D_{r} = A \cdot 0, 18$ . Então $A = 360 \div 0, 18 = 2.000$ . O valor nominal é $N = A + D_{r} = 2.000 + 360 = 2.360$ .
Passo 5 do roteiro: $2.000 \cdot 1, 18 = 2.360$ . As contas batem.

Resultado: alternativa D. A armadilha mais tentadora é a B: R$ 2.000,00 é o valor atual, e não o nominal.

O erro comum neste assunto é aplicar a taxa sobre o valor nominal. No desconto racional, a taxa incide sobre o valor atual. Por isso, a conta divide o nominal por $1 + i \cdot n$ , em vez de multiplicar o nominal pela taxa.

Desconto comercial simples

O desconto comercial simples, também chamado de desconto por fora ou desconto bancário, é o desconto que os bancos usam. Nele, a taxa incide sobre o valor nominal.

Volte à nota de R$ 1.000,00 que vence em 2 meses. O banco cobra 5% ao mês por fora. O banco calcula 5% de R$ 1.000,00, que é R$ 50,00 por mês. Em 2 meses, o desconto é R$ 100,00. A loja recebe R$ 900,00.

D_{c} = N \cdot d \cdot n A = N - D_{c} = N \cdot (1 - d \cdot n)

Nessas fórmulas, $D_{c}$ é o desconto comercial, $N$ é o valor nominal, $d$ é a taxa de desconto por período, $n$ é o número de períodos até o vencimento e $A$ é o valor atual, isto é, o valor que a loja recebe.

Às vezes, o banco cobra também uma taxa administrativa. A taxa administrativa é um percentual cobrado uma vez sobre o valor nominal. Ela sai do valor que a loja recebe.

Reconheça o tipo: a questão fala em desconto comercial, desconto por fora, desconto bancário, ou diz que a taxa incide sobre o valor nominal.
Ache o valor nominal, a taxa, o prazo e as taxas administrativas, se houver.
Ponha a taxa e o prazo na mesma unidade. Calcule $D_{c} = N \cdot d \cdot n$ .
Calcule o valor recebido: o nominal menos o desconto e menos a taxa administrativa.
Confira o que a questão pede: o desconto, o valor atual, a taxa ou o prazo.

Um título de R$ 1.000,00 vence em 2 meses. Ele é descontado com desconto comercial simples de 5% ao mês. Calcule o desconto e o valor atual.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto comercial.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 1.000,00, a taxa é 5% ao mês e o prazo é de 2 meses. Não há taxa administrativa.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal e o prazo está em meses. $1.000 \cdot 0, 05 = 50$ . Depois, $50 \cdot 2 = 100$ .
Passo 4 do roteiro: $1.000 - 100 = 900$ .
Passo 5 do roteiro: a questão pede o desconto e o valor atual.

Resultado: o desconto é R$ 100,00 e o valor atual é R$ 900,00.

Uma loja desconta num banco uma nota promissória de R$ 6.000,00. Faltam 75 dias para o vencimento. O banco cobra desconto comercial simples de 36% ao ano, no ano comercial. Calcule o valor que a loja recebe.

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto comercial.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 6.000,00, a taxa é 36% ao ano e o prazo é de 75 dias.
Passo 3 do roteiro: a taxa diária é $36% \div 360 = 0, 1%$ ao dia, isto é, $0, 001$ . $0, 001 \cdot 75 = 0, 075$ . Depois, $6.000 \cdot 0, 075 = 450$ .
Passo 4 do roteiro: $6.000 - 450 = 5.550$ .
Passo 5 do roteiro: a questão pede o valor recebido, em reais.

Resultado: a loja recebe R$ 5.550,00.

Uma empresa contratada por uma secretaria desconta uma duplicata de R$ 20.000,00 num banco, 3 meses antes do vencimento. O banco cobra desconto comercial simples de 4% ao mês. O banco cobra também uma taxa administrativa de 1% sobre o valor nominal, no dia da operação. Julgue a afirmação: "A empresa recebe R$ 17.600,00 líquidos".

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto comercial.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 20.000,00, a taxa é 4% ao mês, o prazo é de 3 meses e há taxa administrativa de 1%.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal e o prazo está em meses. $0, 04 \cdot 3 = 0, 12$ . Depois, $20.000 \cdot 0, 12 = 2.400$ .
Passo 4 do roteiro: a taxa administrativa é $20.000 \cdot 0, 01 = 200$ . O valor recebido é $20.000 - 2.400 - 200 = 17.400$ .
Passo 5 do roteiro: a questão pede o valor líquido, depois de todos os descontos.

Resultado: errado. O valor líquido é de R$ 17.400,00. O valor de R$ 17.600,00 esquece a taxa administrativa de R$ 200,00.

Um título de R$ 15.000,00 foi descontado com desconto comercial simples de 2,5% ao mês. A empresa recebeu R$ 13.500,00. Quantos meses antes do vencimento o título foi descontado?

A) 2 meses
B) 3 meses
C) 4 meses
D) 4,44 meses
E) 6 meses

Passo 1 do roteiro: a questão fala em desconto comercial.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 15.000,00, o valor atual é R$ 13.500,00 e a taxa é 2,5% ao mês. Falta o prazo.
Passo 3 do roteiro: a taxa é mensal, então o prazo sai em meses. O desconto é $15.000 - 13.500 = 1.500$ . Ele é igual a $N \cdot d \cdot n$ , e $N \cdot d = 15.000 \cdot 0, 025 = 375$ .
Passo 4 do roteiro: $n = 1.500 \div 375 = 4$ .
Passo 5 do roteiro: $15.000 \cdot 0, 025 \cdot 4 = 1.500$ . A conta bate.

Resultado: alternativa C. A armadilha mais tentadora é a D: ela aplica a taxa sobre o valor atual, $1.500 \div (13.500 \cdot 0, 025) \approx 4, 44$ , que é a regra do desconto racional.

O erro comum neste assunto é misturar o desconto comercial com o racional. No comercial, a taxa incide sobre o valor nominal e a conta é uma multiplicação. Outro erro é esquecer a taxa administrativa, que sai do valor recebido.

Relação entre os descontos e taxa efetiva

Esta subseção junta dois assuntos: a relação entre os dois descontos e a taxa efetiva do desconto simples.

Primeiro, a relação. Com a mesma taxa e o mesmo prazo, o desconto comercial é maior que o racional. O comercial aplica a taxa sobre o valor nominal. O racional aplica a taxa sobre o valor atual, que é menor. A relação exata é:

D_{c} = D_{r} \cdot (1 + i \cdot n)

Nessa fórmula, $D_{c}$ é o desconto comercial, $D_{r}$ é o desconto racional, $i$ é a taxa e $n$ é o prazo, iguais nos dois descontos. Uma consequência útil é a diferença entre os dois: $D_{c} - D_{r} = D_{r} \cdot i \cdot n$ .

Agora, a taxa efetiva. No desconto comercial, a empresa recebe o valor atual hoje e paga o valor nominal no vencimento. Na prática, ela tomou um empréstimo. A taxa efetiva é a taxa de juros simples desse empréstimo, calculada sobre o valor que a empresa recebeu:

i_{ef} = \frac{D _{c}}{A \cdot n}

Nessa fórmula, $i_{ef}$ é a taxa efetiva por período, $D_{c}$ é o desconto comercial, $A$ é o valor atual e $n$ é o prazo. A taxa efetiva é sempre maior que a taxa de desconto comercial, porque o valor atual é menor que o nominal.

Reconheça o tipo: a questão compara os dois descontos, dá a diferença entre eles, ou pede a "taxa efetiva" ou a "taxa de juros" de uma operação de desconto comercial.
Ache a taxa, o prazo e o valor que a questão dá (nominal, um dos descontos ou a diferença). Ponha a taxa e o prazo na mesma unidade e calcule $i \cdot n$ .
Na relação, use $D_{c} = D_{r} \cdot (1 + i \cdot n)$ ou $D_{c} - D_{r} = D_{r} \cdot i \cdot n$ .
Na taxa efetiva, calcule o desconto comercial e o valor atual. Depois, divida o desconto pelo valor atual e pelo prazo.
Confira: o desconto comercial é maior que o racional, e a taxa efetiva é maior que a taxa de desconto.

Um título é descontado com taxa de 5% ao mês, 2 meses antes do vencimento. O desconto racional simples é de R$ 200,00. Calcule o desconto comercial simples com a mesma taxa e o mesmo prazo.

Passo 1 do roteiro: a questão compara os dois descontos.
Passo 2 do roteiro: a taxa é 5% ao mês, o prazo é de 2 meses e o desconto racional é R$ 200,00. $i \cdot n = 0, 05 \cdot 2 = 0, 10$ .
Passo 3 do roteiro: $D_{c} = 200 \cdot (1 + 0, 10) = 200 \cdot 1, 10 = 220$ .
Passo 4 do roteiro: não se aplica.
Passo 5 do roteiro: R$ 220,00 é maior que R$ 200,00.

Resultado: o desconto comercial é de R$ 220,00.

Um banco desconta um título de R$ 10.000,00, 2 meses antes do vencimento, com desconto comercial simples de 5% ao mês. Calcule a taxa efetiva mensal de juros simples da operação, com duas casas decimais.

Passo 1 do roteiro: a questão pede a taxa efetiva de um desconto comercial.
Passo 2 do roteiro: o valor nominal é R$ 10.000,00, a taxa é 5% ao mês e o prazo é de 2 meses. $i \cdot n = 0, 05 \cdot 2 = 0, 10$ .
Passo 3 do roteiro: não se aplica.
Passo 4 do roteiro: o desconto é $10.000 \cdot 0, 10 = 1.000$ . O valor atual é $10.000 - 1.000 = 9.000$ . A taxa do período é $1.000 \div 9.000 \approx 0, 1111$ . A taxa mensal é $0, 1111 \div 2 \approx 0, 0556$ .
Passo 5 do roteiro: 5,56% ao mês é maior que 5% ao mês.

Resultado: a taxa efetiva é de cerca de 5,56% ao mês.

Um título foi descontado 5 meses antes do vencimento, com taxa de 4% ao mês. A diferença entre o desconto comercial simples e o desconto racional simples, com a mesma taxa e o mesmo prazo, é de R$ 40,00. Um candidato afirma: "O valor nominal do título é de R$ 1.200,00". Julgue a afirmação.

Passo 1 do roteiro: a questão dá a diferença entre os dois descontos.
Passo 2 do roteiro: a taxa é 4% ao mês, o prazo é de 5 meses e a diferença é R$ 40,00. $i \cdot n = 0, 04 \cdot 5 = 0, 20$ .
Passo 3 do roteiro: $D_{c} - D_{r} = D_{r} \cdot 0, 20 = 40$ . Então $D_{r} = 40 \div 0, 20 = 200$ . O desconto comercial é $200 + 40 = 240$ .
Passo 4 do roteiro: o desconto comercial é $N \cdot 0, 20$ . Então $N = 240 \div 0, 20 = 1.200$ .
Passo 5 do roteiro: confira pelo racional. O valor atual racional é $1.200 \div 1, 20 = 1.000$ , e $1.200 - 1.000 = 200$ . A conta bate.

Resultado: certo. O valor nominal é de R$ 1.200,00.

Um banco desconta títulos 3 meses antes do vencimento, com desconto comercial simples de 4% ao mês. Qual é a taxa efetiva mensal de juros simples que a empresa paga na operação?

A) 4,00%
B) 4,17%
C) 4,55%
D) 12,00%
E) 13,64%

Passo 1 do roteiro: a questão pede a taxa efetiva de um desconto comercial.
Passo 2 do roteiro: a taxa é 4% ao mês e o prazo é de 3 meses. O valor nominal não aparece. Use um valor nominal de R$ 100,00 para facilitar a conta. $i \cdot n = 0, 04 \cdot 3 = 0, 12$ .
Passo 3 do roteiro: não se aplica.
Passo 4 do roteiro: o desconto é $100 \cdot 0, 12 = 12$ . O valor atual é $100 - 12 = 88$ . A taxa do período é $12 \div 88 \approx 0, 1364$ . A taxa mensal é $0, 1364 \div 3 \approx 0, 0455$ .
Passo 5 do roteiro: 4,55% ao mês é maior que 4% ao mês.

Resultado: alternativa C. A armadilha mais tentadora é a E: 13,64% é a taxa efetiva dos 3 meses, e a questão pede a taxa mensal.

O erro comum neste assunto é achar que a taxa efetiva é igual à taxa de desconto. A taxa efetiva é sempre maior, porque a empresa recebe menos que o nominal. Outro erro é inverter a relação e escrever $D_{r} = D_{c} \cdot (1 + i \cdot n)$ .

Juros e descontos simples
- Juros: capital vezes taxa vezes prazo
- Dias: comercial 30 e 360, exato 365, bancário 360
- Taxas proporcionais são equivalentes
- Médias ponderadas
- Descontos
  - Racional: taxa sobre o valor atual
  - Comercial: taxa sobre o valor nominal

Quadros e comparações

Ponto	Desconto racional simples	Desconto comercial simples
Base da taxa	valor atual	valor nominal
Valor atual	$N \div (1 + i \cdot n)$	$N \cdot (1 - d \cdot n)$
Desconto	$A \cdot i \cdot n$	$N \cdot d \cdot n$

A questão pede	Use
juros ou montante com taxa e prazo	$J = C \cdot i \cdot n$ e $M = C + J$
juros com prazo em dias	divisor 360 (comercial ou bancário) ou 365 (exato)
taxa de outro período	divida ou multiplique pela razão dos períodos
uma taxa, um prazo ou um capital único	tabela auxiliar e médias ponderadas
valor de um título antes do vencimento	desconto racional ou comercial, conforme a base da taxa
juros reais de um desconto bancário	taxa efetiva sobre o valor atual

Para decorar

Juros simples: $J = C \cdot i \cdot n$ e $M = C \cdot (1 + i \cdot n)$ .
Dias: comercial usa 30 por mês e 360 no ano; exato usa o calendário e 365; bancário usa o calendário e 360.
Taxas no simples: proporcional é equivalente; 2% ao mês é 24% ao ano.
Taxa média: $\sum C \cdot i \cdot n$ dividido por $\sum C \cdot n$ .
Prazo médio: $\sum C \cdot i \cdot n$ dividido por $\sum C \cdot i$ .
Capital médio: $\sum C \cdot i \cdot n$ dividido por $\sum i \cdot n$ .
Desconto racional: $A = N \div (1 + i \cdot n)$ .
Desconto comercial: $D_{c} = N \cdot d \cdot n$ e $A = N \cdot (1 - d \cdot n)$ .
Relação: $D_{c} = D_{r} \cdot (1 + i \cdot n)$ .
Taxa efetiva: desconto comercial dividido pelo valor atual e pelo prazo.

Pegadinhas

#	Errado	Certo
1	Com taxa anual e prazo de 8 meses, use $n = 8$ com a taxa anual.	Divida a taxa anual por 12 e use $n = 8$ com a taxa mensal.
2	Nos juros exatos, fevereiro tem 30 dias.	Nos juros exatos, os dias vêm do calendário: fevereiro tem 28 dias, ou 29 no ano bissexto.
3	A taxa média é a média simples das taxas.	A taxa média pesa cada taxa pelo capital e pelo prazo.
4	No desconto racional, o desconto é o nominal vezes a taxa vezes o prazo.	No desconto racional, a taxa incide sobre o valor atual.
5	A taxa efetiva do desconto comercial é igual à taxa de desconto.	A taxa efetiva é maior, porque incide sobre o valor atual.

Fontes e data

Este guia não usa norma. As fórmulas são da matemática financeira básica. Todas as contas dos exemplos foram conferidas em 13/10/2026.

Regime de Juros e Descontos Simples